数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \frac{1}{9}$, $a_{n+1} = a_n^2$ で定義されているとき、以下の問題を解く。 (1) $b_n = \log_3 a_n$ とおく。 (i) $b_{n+1}$ を $b_n$ で表し、$b_n$ を求めよ。 (ii) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。 (2) (i) すべての正の整数 $n$ に対して、$1 + a_n = \frac{1 - a_{n+1}}{1 - a_n}$ が成り立つことを示せ。 (ii) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \log_3(1 + a_n)$ の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \frac{1}{9}$, $a_{n+1} = a_n^2$ で定義されているとき、以下の問題を解く。

(1) $b_n = \log_3 a_n$ とおく。

(i) $b_{n+1}$ を $b_n$ で表し、$b_n$ を求めよ。

(ii) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。

(2) (i) すべての正の整数 $n$ に対して、$1 + a_n = \frac{1 - a_{n+1}}{1 - a_n}$ が成り立つことを示せ。

(ii) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \log_3(1 + a_n)$ の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) (i) $b_n = \log_3 a_n$ より、$b_{n+1} = \log_3 a_{n+1}$。また、$a_{n+1} = a_n^2$ より、

$b_{n+1} = \log_3 a_{n+1} = \log_3 (a_n^2) = 2 \log_3 a_n = 2b_n$

数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = \log_3 a_1 = \log_3 \frac{1}{9} = -2$, 公比 $2$ の等比数列であるから、

$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1} = -2 \cdot 2^{n-1} = -2^n$

(1) (ii) $b_n = \log_3 a_n$ より、$a_n = 3^{b_n} = 3^{-2^n}$

よって、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} 3^{-2^n} = 0$

(2) (i) $1 + a_n = \frac{1 - a_{n+1}}{1 - a_n}$ を示す。

右辺 $= \frac{1 - a_{n+1}}{1 - a_n} = \frac{1 - a_n^2}{1 - a_n} = \frac{(1 - a_n)(1 + a_n)}{1 - a_n} = 1 + a_n =$ 左辺

よって、$1 + a_n = \frac{1 - a_{n+1}}{1 - a_n}$ が成り立つ。

(2) (ii) $S = \sum_{n=1}^{\infty} \log_3(1 + a_n)$ の収束、発散を調べる。

(2)(i)の結果より、$1+a_n = \frac{1-a_{n+1}}{1-a_n}$ であるから

$\log_3 (1+a_n) = \log_3 \frac{1-a_{n+1}}{1-a_n} = \log_3 (1-a_{n+1}) - \log_3 (1-a_n)$

$S_N = \sum_{n=1}^{N} \log_3(1+a_n) = \sum_{n=1}^{N} [\log_3(1-a_{n+1}) - \log_3(1-a_n)]$

$S_N = [\log_3(1-a_2) - \log_3(1-a_1)] + [\log_3(1-a_3) - \log_3(1-a_2)] + \cdots + [\log_3(1-a_{N+1}) - \log_3(1-a_N)]$

$S_N = \log_3(1-a_{N+1}) - \log_3(1-a_1)$

$a_1 = \frac{1}{9}$ であるから、$\log_3(1-a_1) = \log_3(1 - \frac{1}{9}) = \log_3 \frac{8}{9}$

$\lim_{N \to \infty} a_{N+1} = 0$ であるから、$\lim_{N \to \infty} \log_3(1 - a_{N+1}) = \log_3 1 = 0$

よって、$\lim_{N \to \infty} S_N = 0 - \log_3 \frac{8}{9} = - \log_3 \frac{8}{9} = \log_3 \frac{9}{8}$

3. 最終的な答え

(1) (i) $b_{n+1} = 2b_n$, $b_n = -2^n$

(1) (ii) $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

(2) (i) (証明終わり)

(2) (ii) 収束し、その和は $\log_3 \frac{9}{8}$