2次関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 + 4$ の $-5 \le x \le 3$ における最大値を求める問題です。ただし、$a$ の値によって場合分けする必要があります。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 + 4$ の $-5 \le x \le 3$ における最大値を求める問題です。ただし、$a$ の値によって場合分けする必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 + 4$

$y = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2 + 4$

$y = 2(x - a)^2 - 2a^2 + 2a^2 + 4$

$y = 2(x - a)^2 + 4$

この式から、この放物線の頂点の座標が $(a, 4)$ であることがわかります。軸は $x = a$ です。

定義域が $-5 \le x \le 3$ であることを考慮し、$a$ の値によって場合分けを行います。

(i) $a < -5$ のとき

軸 $x=a$ が区間 $-5 \le x \le 3$ の左側にあるため、$x = -5$ で最大値をとります。

$x = -5$ を元の式に代入すると、

$y = 2(-5)^2 - 4a(-5) + 2a^2 + 4 = 50 + 20a + 2a^2 + 4 = 2a^2 + 20a + 54$

したがって、$a < -5$ のとき、$x = -5$ で最大値 $2a^2 + 20a + 54$ をとります。

(ii) $-5 \le a \le 3$ のとき

軸 $x=a$ が区間 $-5 \le x \le 3$ の中にあるため、$x = -5$ または $x = 3$ で最大値をとります。$x=-5$ と $x=3$ のときの $y$ の値を計算し、大きいほうを最大値とします。

$x = -5$ のとき、$y = 2(-5)^2 - 4a(-5) + 2a^2 + 4 = 2a^2 + 20a + 54$

$x = 3$ のとき、$y = 2(3)^2 - 4a(3) + 2a^2 + 4 = 18 - 12a + 2a^2 + 4 = 2a^2 - 12a + 22$

$2a^2 + 20a + 54 \ge 2a^2 - 12a + 22$ を解くと、

$32a \ge -32$

$a \ge -1$

したがって、$-5 \le a < -1$ のとき、$x=-5$ で最大値 $2a^2 + 20a + 54$

$-1 \le a \le 3$ のとき、$x=3$ で最大値 $2a^2 - 12a + 22$

しかし、$a$ の条件から (i) と(ii) で場合分けします。問題文の空欄から$-5 \le a \le 3$ は場合分けの必要がないと読み取れます。

$x=3$ で最大値をとるのは、$a > 3$ の時です。

$a \ge 3$ のとき

軸 $x=a$ が区間 $-5 \le x \le 3$ の右側にあるため、$x = -5$ で最大値をとります。$x= -5$ を元の式に代入すると、$2a^2 + 20a + 54$

(iii) $a > 3$ のとき、$x=-5$ で最大値 $2a^2 + 20a + 54$をとります。

まとめると、

(i) $a < -5$ のとき、$x = -5$ で最大値 $2a^2 + 20a + 54$ をとります。

(ii) $-5 \le a \le 3$ のとき、$x = 3$ で最大値 $2a^2 - 12a + 22$をとります。

3. 最終的な答え

i) $a < -5$ のとき、$x = -5$ で最大値 $2a^2 + 20a + 54$

ii) $-5 \le a \le 3$ のとき、$x = 3$ で最大値 $2a^2 - 12a + 22$