複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 4 - 3i$ が与えられたとき、以下の値を求める。 (1) $|\alpha^4|$ (2) $|\alpha \beta^2|$ (3) $|\frac{1}{\alpha \beta}|$ (4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}|$ また、複素数 $z$ に対して、以下の変換がどのような移動を表すかを答える。 (1) $(1-i)z$ (2) $(-1 + \sqrt{3}i)z$

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 4 - 3i$ が与えられたとき、以下の値を求める。

(1) $|\alpha^4|$

(2) $|\alpha \beta^2|$

(3) $|\frac{1}{\alpha \beta}|$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}|$

また、複素数 $z$ に対して、以下の変換がどのような移動を表すかを答える。

(1) $(1-i)z$

(2) $(-1 + \sqrt{3}i)z$

2. 解き方の手順

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(1) $|\alpha^4| = |\alpha|^4$ なので、$|\alpha| = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$ より、

$|\alpha^4| = 3^4 = 81$

(2) $|\alpha \beta^2| = |\alpha| |\beta^2| = |\alpha| |\beta|^2$ なので、 $|\beta| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ より、

$|\alpha \beta^2| = 3 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75$

(3) $|\frac{1}{\alpha \beta}| = \frac{1}{|\alpha \beta|} = \frac{1}{|\alpha| |\beta|} = \frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{15}$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}| = \frac{|\beta^2|}{|\alpha^3|} = \frac{|\beta|^2}{|\alpha|^3} = \frac{5^2}{3^3} = \frac{25}{27}$

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(1) $1 - i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))$ なので、$(1-i)z$ は、点 $z$ を原点中心に $-\frac{\pi}{4}$ 回転し、$\sqrt{2}$ 倍した点である。

(2) $-1 + \sqrt{3}i = 2(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3}))$ なので、 $(-1 + \sqrt{3}i)z$ は、点 $z$ を原点中心に $\frac{2\pi}{3}$ 回転し、2倍した点である。

3. 最終的な答え

7

(1) 81

(2) 75

(3) $\frac{1}{15}$

(4) $\frac{25}{27}$

8

(1) 原点中心に $-\frac{\pi}{4}$ 回転し、$\sqrt{2}$ 倍

(2) 原点中心に $\frac{2\pi}{3}$ 回転し、2倍