関数 $y = -x^2 + 2ax - a^2 + 5$ が、区間 $-4 \le x \le 0$ において最小値をとるときの、$x$の値と最小値を、$a$の値の範囲に応じて求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2ax - a^2 + 5$ が、区間 $-4 \le x \le 0$ において最小値をとるときの、$x$の値と最小値を、$a$の値の範囲に応じて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2ax + a^2) + 5 = -(x - a)^2 + 5$

これは、頂点が $(a, 5)$ の上に凸な放物線です。

次に、区間 $-4 \le x \le 0$ における最小値を考えます。

$a$の値によって、軸 $x = a$ の位置が区間の外にあるか、中にあるかで場合分けが必要です。

i) $a < -4$ のとき

区間 $-4 \le x \le 0$ で、$x$ が増加すると $y$ は減少します。したがって、$x = 0$ で最小値をとります。

このときの最小値は、$y = -0^2 + 2a(0) - a^2 + 5 = -a^2 + 5$ です。

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき

頂点 $x = a$ が区間内に存在するので、$x = -4$ または $x = 0$ で最小値をとります。

$f(x) = -x^2 + 2ax - a^2 + 5$ とすると、$f(x) = -(x-a)^2+5$なので、$x$が$a$から離れるほど小さくなります。

したがって、$x = -4$の場合、$x=0$の場合を比較すると、$a$に近いほうが大きく、$a$から遠いほうが小さいので、

$0-a > a-(-4) \Leftrightarrow -2a > 4 \Leftrightarrow a < -2$ のとき $x = 0$で最小値$-a^2 + 5$

$0-a < a-(-4) \Leftrightarrow -2a < 4 \Leftrightarrow a > -2$ のとき $x = -4$で最小値$-(-4)^2+2a(-4)-a^2+5=-16-8a-a^2+5=-a^2-8a-11$

$a=-2$のとき $x = 0$でも$x = -4$でも同じ最小値をとります。

したがって、$x = -4$ で最小値をとるときは、$-2 \le a \le 0$となります。

$x = -4$ のときの最小値は、$y = -(-4)^2 + 2a(-4) - a^2 + 5 = -16 - 8a - a^2 + 5 = -a^2 - 8a - 11$です。

iii) $a > 0$ のとき

区間 $-4 \le x \le 0$ で、$x$ が減少すると $y$ は減少します。したがって、$x = -4$ で最小値をとります。

このときの最小値は、$y = -(-4)^2 + 2a(-4) - a^2 + 5 = -16 - 8a - a^2 + 5 = -a^2 - 8a - 11$ です。

4. -4 ≦ a ≦ 0 の場合に場合分けをさらに行う必要があります。

i) a < -4 のとき、x = 0 で最小値 -a^2 + 5

ii) -4 ≦ a ≦ 0 のとき

-4 ≦ a ≦ 0 において x = -4 で最小値 -a^2 - 8a - 11

3. 最終的な答え

i) $a < -4$ のとき、$x=0$ で最小値 $-a^2+5$

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき、$x=-4$ で最小値 $-a^2-8a-11$