(1) 2次方程式 $2x^2 - kx + k + 1 = 0$ が負の重解を持つような実数 $k$ の値を求めます。 (2) $i$ を虚数単位とするとき、2次方程式 $x^2 = 5 + 12i$ を解きます。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $2x^2 - kx + k + 1 = 0$ が負の重解を持つような実数 $k$ の値を求めます。

(2) $i$ を虚数単位とするとき、2次方程式 $x^2 = 5 + 12i$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $0$ となることです。

$D = (-k)^2 - 4(2)(k+1) = k^2 - 8k - 8 = 0$

この2次方程式を解くと、$k = \frac{8 \pm \sqrt{64+32}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{6}$ となります。

重解は $x = \frac{k}{4}$ であり、これが負となるためには $k < 0$ である必要があります。

$4 + 2\sqrt{6} > 0$ であるので、$k = 4 - 2\sqrt{6}$ のみが候補となります。

ここで、$\sqrt{6} > 2$ なので、$2\sqrt{6} > 4$ となり、$4 - 2\sqrt{6} < 0$ であることが分かります。

したがって、$k = 4 - 2\sqrt{6}$ であり、このときの重解は $x = \frac{4 - 2\sqrt{6}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ であり、これは負の数です。

(2) $x = a + bi$ ($a, b$ は実数) とおくと、

$x^2 = (a+bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2 - b^2) + 2abi$ となります。

これが $5 + 12i$ に等しいので、

$a^2 - b^2 = 5$

$2ab = 12$

$ab = 6$

$b = \frac{6}{a}$

これを $a^2 - b^2 = 5$ に代入して、$a^2 - (\frac{6}{a})^2 = 5$

$a^2 - \frac{36}{a^2} = 5$

$a^4 - 36 = 5a^2$

$a^4 - 5a^2 - 36 = 0$

$(a^2 - 9)(a^2 + 4) = 0$

$a^2 = 9$ または $a^2 = -4$

$a$ は実数なので、$a^2 = 9$ より $a = \pm 3$

$a = 3$ のとき、$b = \frac{6}{3} = 2$

$a = -3$ のとき、$b = \frac{6}{-3} = -2$

したがって、$x = 3 + 2i$ または $x = -3 - 2i$

3. 最終的な答え

(1) $k = 4 - 2\sqrt{6}$

(2) $x = 3 + 2i, -3 - 2i$