与えられた式 $\sqrt{x^2-4x+4} - \sqrt{x^2+2x+1}$ を、指定された $x$ の範囲で簡略化する問題です。具体的には、以下の2つの場合を考えます。 (1) $x > 2$ (2) $-1 < x < 2$

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{x^2-4x+4} - \sqrt{x^2+2x+1}$ を、指定された $x$ の範囲で簡略化する問題です。具体的には、以下の2つの場合を考えます。

(1) $x > 2$

(2) $-1 < x < 2$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を簡略化します。根号の中身を因数分解することで、絶対値記号を用いて式を書き換えることができます。

$\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$

$\sqrt{x^2 + 2x + 1} = \sqrt{(x+1)^2} = |x+1|$

したがって、元の式は $|x-2| - |x+1|$ となります。

次に、与えられた $x$ の範囲で絶対値記号を外します。

(1) $x > 2$ のとき、$x-2 > 0$ なので $|x-2| = x-2$ であり、$x+1 > 0$ なので $|x+1| = x+1$ です。

したがって、

$|x-2| - |x+1| = (x-2) - (x+1) = x-2-x-1 = -3$

(2) $-1 < x < 2$ のとき、$x-2 < 0$ なので $|x-2| = -(x-2) = 2-x$ であり、$x+1 > 0$ なので $|x+1| = x+1$ です。

したがって、

$|x-2| - |x+1| = (2-x) - (x+1) = 2-x-x-1 = 1-2x$

3. 最終的な答え

(1) $x > 2$ のとき、$\sqrt{x^2-4x+4} - \sqrt{x^2+2x+1} = -3$

(2) $-1 < x < 2$ のとき、$\sqrt{x^2-4x+4} - \sqrt{x^2+2x+1} = 1-2x$