与えられた2つの式を因数分解します。 (1) $64x^6 - 1$ (2) $1 - a^6$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。

(1) $64x^6 - 1$

(2) $1 - a^6$

2. 解き方の手順

(1) $64x^6 - 1$

まず、$64x^6$ を $(2x)^6$ と見ます。すると、与式は $((2x)^3)^2 - 1^2$ と表せるので、2乗の差の公式 $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ を適用できます。

$64x^6 - 1 = (8x^3)^2 - 1^2 = (8x^3 + 1)(8x^3 - 1)$

次に、$8x^3 + 1$ と $8x^3 - 1$ を因数分解します。これらはそれぞれ和の3乗と差の3乗の形なので、以下の公式を用います。

$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$

$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$

$8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3 = (2x + 1)((2x)^2 - 2x \cdot 1 + 1^2) = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$

$8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)((2x)^2 + 2x \cdot 1 + 1^2) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$

したがって、$64x^6 - 1 = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) = (2x-1)(2x+1)(4x^2-2x+1)(4x^2+2x+1)$となります。

(2) $1 - a^6$

$1 - a^6$ は $1^2 - (a^3)^2$ と表せるので、2乗の差の公式を適用できます。

$1 - a^6 = (1 + a^3)(1 - a^3)$

次に、$1 + a^3$ と $1 - a^3$ を因数分解します。これらはそれぞれ和の3乗と差の3乗の形なので、以下の公式を用います。

$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$

$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$

$1 + a^3 = (1 + a)(1 - a + a^2)$

$1 - a^3 = (1 - a)(1 + a + a^2)$

したがって、$1 - a^6 = (1 + a)(1 - a + a^2)(1 - a)(1 + a + a^2) = (1-a)(1+a)(1+a+a^2)(1-a+a^2)$となります。

3. 最終的な答え

(1) $(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)(4x^2 + 2x + 1)$

(2) $(1 - a)(1 + a)(1 + a + a^2)(1 - a + a^2)$