与えられた6つの式を因数分解する問題です。これらの式は、主に和または差の立方公式を利用して因数分解できます。

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解する問題です。これらの式は、主に和または差の立方公式を利用して因数分解できます。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で因数分解を行います。

(1) $x^3+8$

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3$ と変形できます。和の立方公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いると、

$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$ となります。

(2) $a^3 - 125b^3$

$a^3 - 125b^3 = a^3 - (5b)^3$ と変形できます。差の立方公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いると、

$a^3 - (5b)^3 = (a-5b)(a^2 + 5ab + 25b^2)$ となります。

(3) $8x^3 + 27$

$8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3$ と変形できます。和の立方公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いると、

$(2x)^3 + 3^3 = (2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$ となります。

(4) $64a^3 - 27b^3$

$64a^3 - 27b^3 = (4a)^3 - (3b)^3$ と変形できます。差の立方公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いると、

$(4a)^3 - (3b)^3 = (4a-3b)(16a^2 + 12ab + 9b^2)$ となります。

(5) $\frac{1}{27} + x^3$

$\frac{1}{27} + x^3 = (\frac{1}{3})^3 + x^3$ と変形できます。和の立方公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いると、

$(\frac{1}{3})^3 + x^3 = (\frac{1}{3} + x)(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x + x^2)$ となります。

(6) $x^3 - y^3z^3$

$x^3 - y^3z^3 = x^3 - (yz)^3$ と変形できます。差の立方公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いると、

$x^3 - (yz)^3 = (x-yz)(x^2 + xyz + y^2z^2)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x+2)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $(a-5b)(a^2 + 5ab + 25b^2)$

(3) $(2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$

(4) $(4a-3b)(16a^2 + 12ab + 9b^2)$

(5) $(\frac{1}{3} + x)(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x + x^2)$

(6) $(x-yz)(x^2 + xyz + y^2z^2)$