問題42：2次関数 $y = x^2 - 2ax + 4a$ の最小値 $m$ を $a$ の式で表し、さらに $m$ の値を最大にする $a$ の値と $m$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

問題42：2次関数 $y = x^2 - 2ax + 4a$ の最小値 $m$ を $a$ の式で表し、さらに $m$ の値を最大にする $a$ の値と $m$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して、最小値を求めます。

$y = x^2 - 2ax + 4a$

$y = (x - a)^2 - a^2 + 4a$

この式から、$x=a$ のとき、最小値 $m = -a^2 + 4a$ となります。

次に、$m$ の最大値を求めます。$m$ は $a$ の2次関数なので、平方完成を行います。

$m = -a^2 + 4a = -(a^2 - 4a)$

$m = -(a^2 - 4a + 4) + 4$

$m = -(a - 2)^2 + 4$

この式から、$a=2$ のとき、$m$ は最大値 $4$ をとることがわかります。

3. 最終的な答え

最小値 $m$ を $a$ の式で表すと、

$m = -a^2 + 4a$

$m$ の値を最大にする $a$ の値は、

$a = 2$

$m$ の最大値は、

$m = 4$