与えられた連立一次方程式を、係数行列 $A$ を用いて表し、$A$ の行列式の計算、クラーメルの公式による解の導出、余因子行列と逆行列の計算、および逆行列を用いた解法を行う問題です。具体的には、以下の内容が求められています。 (1) $A$ の行列式 $|A|$ を余因子展開を用いて計算する。 (2) クラーメルの公式を用いて連立一次方程式の解を求める。 (3) $A$ の余因子行列と逆行列 $A^{-1}$ を求める。 (4) $A^{-1}$ を用いて連立一次方程式の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を、係数行列 $A$ を用いて表し、$A$ の行列式の計算、クラーメルの公式による解の導出、余因子行列と逆行列の計算、および逆行列を用いた解法を行う問題です。具体的には、以下の内容が求められています。

(1) $A$ の行列式 $|A|$ を余因子展開を用いて計算する。

(2) クラーメルの公式を用いて連立一次方程式の解を求める。

(3) $A$ の余因子行列と逆行列 $A^{-1}$ を求める。

(4) $A^{-1}$ を用いて連立一次方程式の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A$ の行列式 $|A|$ を余因子展開で計算する。

第一行で余因子展開を行うと

$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ -1 & -6 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & -6 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}$

$= 1((-2)(-6) - (-3)(-1)) - 2((1)(-6) - (-3)(-2)) + 5((1)(-1) - (-2)(-2))$

$= 1(12-3) - 2(-6-6) + 5(-1-4)$

$= 9 - 2(-12) + 5(-5)$

$= 9 + 24 - 25 = 8$

(2) クラーメルの公式を用いて解を求める。

$x = \frac{|A_x|}{|A|}, y = \frac{|A_y|}{|A|}, z = \frac{|A_z|}{|A|}$

$A_x = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & -3 \\ -7 & -1 & -6 \end{pmatrix}$

$A_y = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & -3 \\ -2 & -7 & -6 \end{pmatrix}$

$A_z = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & -2 & 0 \\ -2 & -1 & -7 \end{pmatrix}$

$|A_x| = 4 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ -1 & -6 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ -7 & -6 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -7 & -1 \end{vmatrix}$

$= 4(12-3) - 2(0-21) + 5(0-14)$

$= 4(9) - 2(-21) + 5(-14)$

$= 36 + 42 - 70 = 8$

$|A_y| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ -7 & -6 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & -6 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -7 \end{vmatrix}$

$= 1(0-21) - 4(-6-6) + 5(-7-0)$

$= -21 - 4(-12) + 5(-7)$

$= -21 + 48 - 35 = -8$

$|A_z| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ -1 & -7 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -7 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}$

$= 1(14-0) - 2(-7-0) + 4(-1-4)$

$= 14 - 2(-7) + 4(-5)$

$= 14 + 14 - 20 = 8$

$x = \frac{8}{8} = 1$

$y = \frac{-8}{8} = -1$

$z = \frac{8}{8} = 1$

(3) 余因子行列を求める。

$C = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ -1 & -6 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & -6 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -1 & -6 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -2 & -6 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -2 & -3 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 9 & 12 & -5 \\ 7 & 4 & -3 \\ 4 & 8 & -4 \end{pmatrix}$

余因子行列は

$C^T = \begin{pmatrix} 9 & 7 & 4 \\ 12 & 4 & 8 \\ -5 & -3 & -4 \end{pmatrix}$

逆行列 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 9 & 7 & 4 \\ 12 & 4 & 8 \\ -5 & -3 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{9}{8} & \frac{7}{8} & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ -\frac{5}{8} & -\frac{3}{8} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

(4) $A^{-1}$ を用いて解を求める。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 9 & 7 & 4 \\ 12 & 4 & 8 \\ -5 & -3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 36 + 0 - 28 \\ 48 + 0 - 56 \\ -20 + 0 + 28 \end{pmatrix} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 8 \\ -8 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $|A| = 8$

(2) $x = 1, y = -1, z = 1$

(3) $A$ の余因子行列は $\begin{pmatrix} 9 & 7 & 4 \\ 12 & 4 & 8 \\ -5 & -3 & -4 \end{pmatrix}$

$A$ の逆行列は $\begin{pmatrix} \frac{9}{8} & \frac{7}{8} & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ -\frac{5}{8} & -\frac{3}{8} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

(4) $x = 1, y = -1, z = 1$