すべての実数 $x$ に対して、不等式 $2^{2x+2} + 2^x a + 1 - a > 0$ が成り立つような実数 $a$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $2^{2x+2} + 2^x a + 1 - a > 0$ が成り立つような実数 $a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

$2^{2x+2} + 2^x a + 1 - a > 0$

$4 \cdot (2^x)^2 + a \cdot 2^x + (1 - a) > 0$

ここで、$t = 2^x$ とおくと、$t > 0$ です。不等式は次のようになります。

$4t^2 + at + (1 - a) > 0$

この2次不等式がすべての正の $t$ について成り立つ条件を考えます。

$f(t) = 4t^2 + at + (1 - a)$ とおくと、これは下に凸な放物線です。

この不等式が $t>0$ で常に成り立つためには、以下のいずれかの条件を満たせばよい。

(1) 判別式 $D < 0$ (実数解を持たない場合)

(2) 判別式 $D \ge 0$ かつ、軸 $t = -\frac{a}{8}$ が負または0であり、$f(0) > 0$である場合

(1) 判別式 $D < 0$ の場合

$D = a^2 - 4 \cdot 4 \cdot (1 - a) = a^2 - 16 + 16a < 0$

$a^2 + 16a - 16 < 0$

この2次不等式を解くために、$a^2 + 16a - 16 = 0$ の解を求めます。

$a = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 64}}{2} = \frac{-16 \pm \sqrt{320}}{2} = \frac{-16 \pm 8\sqrt{5}}{2} = -8 \pm 4\sqrt{5}$

したがって、 $-8 - 4\sqrt{5} < a < -8 + 4\sqrt{5}$

(2) 判別式 $D \ge 0$ かつ軸が負または0、$f(0) > 0$ の場合

$a^2 + 16a - 16 \ge 0$ より、$a \le -8 - 4\sqrt{5}$ または $a \ge -8 + 4\sqrt{5}$

軸: $-\frac{a}{8} \le 0$ より、$a \ge 0$

$f(0) = 1 - a > 0$ より、$a < 1$

したがって、 $-8 + 4\sqrt{5} \le a < 1$

ここで、 $-8 + 4\sqrt{5} \approx -8 + 4 \times 2.236 = -8 + 8.944 = 0.944$ なので、$0 \le a < 1$ の範囲です。

(1)と(2)を合わせると、

$-8 - 4\sqrt{5} < a < -8 + 4\sqrt{5}$ または $-8 + 4\sqrt{5} \le a < 1$

つまり、$-8 - 4\sqrt{5} < a < 1$

3. 最終的な答え

$-8 - 4\sqrt{5} < a < 1$