$(x+1)^4$ を展開せよ。

1. 問題の内容

$(x+1)^4$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いる。二項定理は以下の通りである。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^{n-k} b^k$

ここで、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ である。

$a = x$, $b = 1$, $n = 4$ として、二項定理を用いると、

$(x+1)^4 = \sum_{k=0}^{4} {}_4 C_k x^{4-k} 1^k$

$= {}_4 C_0 x^4 1^0 + {}_4 C_1 x^3 1^1 + {}_4 C_2 x^2 1^2 + {}_4 C_3 x^1 1^3 + {}_4 C_4 x^0 1^4$

各項の二項係数を計算する。

${}_4 C_0 = \frac{4!}{0!4!} = 1$

${}_4 C_1 = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 3 \times 2 \times 1} = 4$

${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = 6$

${}_4 C_3 = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 1} = 4$

${}_4 C_4 = \frac{4!}{4!0!} = 1$

よって、

$(x+1)^4 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 + 4 \cdot x^3 \cdot 1 + 6 \cdot x^2 \cdot 1 + 4 \cdot x \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1$

$= x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

3. 最終的な答え

$x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$