$a+b+c = 0$ のとき、等式 $bc(b+c) + ca(c+a) + ab(a+b) = -3abc$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

$a+b+c = 0$ のとき、等式 $bc(b+c) + ca(c+a) + ab(a+b) = -3abc$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

与えられた等式の左辺を変形して、右辺に等しくなることを示す。

$a+b+c=0$ より、$a = -(b+c)$, $b = -(c+a)$, $c = -(a+b)$ を利用する。

まず、左辺を展開する。

$bc(b+c) + ca(c+a) + ab(a+b) = bc(b+c) + c^2a + ca^2 + a^2b + ab^2$

$= b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + a^2b + ab^2$

次に、$a+b+c = 0$ より、$a+b = -c$, $b+c = -a$, $c+a = -b$ であるから、

$bc(b+c) + ca(c+a) + ab(a+b) = bc(-a) + ca(-b) + ab(-c) = -abc - abc - abc = -3abc$

または、左辺を展開した式 $b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + a^2b + ab^2$ に対して、$a+b+c = 0$ を利用する。

$a+b+c = 0$ より、$a = -(b+c)$ を代入する。

$b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + a^2b + ab^2 = b^2c + bc^2 + c^2(-(b+c)) + c(-(b+c))^2 + (-(b+c))^2b + (-(b+c))b^2$

$= b^2c + bc^2 - c^2b - c^3 + c(b^2 + 2bc + c^2) + (b^2 + 2bc + c^2)b - (b+c)b^2$

$= b^2c + bc^2 - c^2b - c^3 + cb^2 + 2bc^2 + c^3 + b^3 + 2b^2c + bc^2 - b^3 - b^2c$

$= b^2c + bc^2 - c^2b - c^3 + cb^2 + 2bc^2 + c^3 + b^3 + 2b^2c + bc^2 - b^3 - b^2c = 3b^2c + 4bc^2 - bc^2 - c^2b = 3b^2c + 3bc^2 - c^2b- cb^2$

$= 3bc(b+c) + b^2c + c^2b + cb^2$

$bc(b+c) + ca(c+a) + ab(a+b) = bc(b+c) + ca(c+a) + ab(a+b) +3abc-3abc = bc(b+c)+ca(c+a) + ab(a+b) +3abc -3abc =bc(b+c) + ca(c+a) + ab(a+b) +abc+abc+abc-3abc=bc(b+c+a) + ca(a+c+b) + ab(a+b+c)-3abc$.

$0+0+0 -3abc = -3abc$.

したがって、等式は成り立つ。

3. 最終的な答え

$bc(b+c) + ca(c+a) + ab(a+b) = -3abc$