連立1次方程式 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \\ -2 & -1 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$ が与えられています。 * 係数行列 $A$ の行列式を計算する。 * クラメルの公式を用いて、連立1次方程式の解を求める。 * $A$ の余因子行列と逆行列を求める。 * $A^{-1}$ を用いて連立1次方程式の解を求める。

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1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の3つの主要な部分に分かれています。

1. **連立1次方程式**:

連立1次方程式 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \\ -2 & -1 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$ が与えられています。

* 係数行列 $A$ の行列式を計算する。

* クラメルの公式を用いて、連立1次方程式の解を求める。

* $A$ の余因子行列と逆行列を求める。

* $A^{-1}$ を用いて連立1次方程式の解を求める。

2. **関数**:

関数 $y = x^4 - 2x^2 + 1$ について、以下の問いに答えます。

* $y$ の極大値と、極大値をとる $x$ の値をすべて求める。

* $y$ の極小値と、極小値をとる $x$ の値をすべて求める。

* $y$ の増減を調べて増減表を作成する。

3. **定積分**:

以下の定積分の値を求めます。

* $\int_{1}^{3} \frac{1}{(5-x)^2} dx$ (置換積分法を使用)

* $\int_{1}^{e} x^3 \log x dx$ (部分積分法を使用)

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2. 解き方の手順

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1. 連立1次方程式

**(1) 行列式 $|A|$ の計算**

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \\ -2 & -1 & -6 \end{pmatrix}$ の行列式を余因子展開を用いて計算します。

1行目で展開すると、

$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ -1 & -6 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & -6 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}$

$= 1 \cdot ((-2)(-6) - (-3)(-1)) - 2 \cdot ((1)(-6) - (-3)(-2)) + 5 \cdot ((1)(-1) - (-2)(-2))$

$= 1 \cdot (12 - 3) - 2 \cdot (-6 - 6) + 5 \cdot (-1 - 4)$

$= 9 - 2 \cdot (-12) + 5 \cdot (-5)$

$= 9 + 24 - 25 = 8$

**(2) クラメルの公式による解**

連立1次方程式 $A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$ の解は、クラメルの公式により以下のように求められます。

$x = \frac{|A_x|}{|A|}, \quad y = \frac{|A_y|}{|A|}, \quad z = \frac{|A_z|}{|A|}$

ここで、$A_x$, $A_y$, $A_z$ は、それぞれ $A$ の第1列、第2列、第3列を $\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$ で置き換えた行列です。

$A_x = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & -3 \\ -7 & -1 & -6 \end{pmatrix}$

$A_y = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & -3 \\ -2 & -7 & -6 \end{pmatrix}$

$A_z = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & -2 & 0 \\ -2 & -1 & -7 \end{pmatrix}$

行列式を計算します。

$|A_x| = 4 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ -1 & -6 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ -7 & -6 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -7 & -1 \end{vmatrix} = 4(12-3) - 2(0-21) + 5(0-14) = 36+42-70 = 8$

$|A_y| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ -7 & -6 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & -6 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -7 \end{vmatrix} = (0-21) - 4(-6-6) + 5(-7-0) = -21 + 48 -35 = -8$

$|A_z| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ -1 & -7 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -7 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = (14-0) - 2(-7-0) + 4(-1-4) = 14+14-20 = 8$

よって、$x = \frac{8}{8} = 1$, $y = \frac{-8}{8} = -1$, $z = \frac{8}{8} = 1$

**(3) 余因子行列と逆行列**

$A$ の余因子行列 $C$ は、以下のように計算されます。

$C = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix}$

ここで、$C_{ij}$ は $A$ の $(i, j)$ 成分の余因子です。

$C_{11} = \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ -1 & -6 \end{vmatrix} = 9$, $C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & -6 \end{vmatrix} = 12$, $C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -5$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -1 & -6 \end{vmatrix} = 7$, $C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -2 & -6 \end{vmatrix} = 4$, $C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -3$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -2 & -3 \end{vmatrix} = 4$, $C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 8$, $C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -4$

よって、$C = \begin{pmatrix} 9 & 12 & -5 \\ 7 & 4 & -3 \\ 4 & 8 & -4 \end{pmatrix}$

$A$ の逆行列 $A^{-1}$ は、$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T$ で与えられます。

$A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 9 & 7 & 4 \\ 12 & 4 & 8 \\ -5 & -3 & -4 \end{pmatrix}$

**(4) $A^{-1}$ を用いた解**

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 9 & 7 & 4 \\ 12 & 4 & 8 \\ -5 & -3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 36 + 0 - 28 \\ 48 + 0 - 56 \\ -20 + 0 + 28 \end{pmatrix} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 8 \\ -8 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

よって、$x = 1$, $y = -1$, $z = 1$

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2. 関数 $y = x^4 - 2x^2 + 1$

**(1) 極大値**

$y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$

$y' = 0$ となる $x$ は $x = -1, 0, 1$

$y'' = 12x^2 - 4$

* $x = -1$ のとき $y''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 8 > 0$ なので極小値

* $x = 0$ のとき $y''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4 < 0$ なので極大値

* $x = 1$ のとき $y''(1) = 12(1)^2 - 4 = 8 > 0$ なので極小値

極大値は $y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 1 = 1$. $x = 0$ で極大値 $1$ をとる。

**(2) 極小値**

$x = -1$ のとき、極小値 $y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$

$x = 1$ のとき、極小値 $y(1) = (1)^4 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$

$x = -1$ と $x = 1$ で極小値 $0$ をとる。

**(3) 増減表**

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| :--- | :--- | :--- | :-- | :--- | :-- | :--- | :-- |

| y' | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↓ | 0 | ↑ | 1 | ↓ | 0 | ↑ |

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3. 定積分

**(1) $\int_{1}^{3} \frac{1}{(5-x)^2} dx$ (置換積分)**

$u = 5 - x$ とおくと、$du = -dx$, $dx = -du$

$x = 1$ のとき $u = 5 - 1 = 4$

$x = 3$ のとき $u = 5 - 3 = 2$

$\int_{1}^{3} \frac{1}{(5-x)^2} dx = \int_{4}^{2} \frac{1}{u^2} (-du) = -\int_{4}^{2} u^{-2} du = \int_{2}^{4} u^{-2} du$

$= \left[ -u^{-1} \right]_{2}^{4} = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{2}^{4} = -\frac{1}{4} - \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

**(2) $\int_{1}^{e} x^3 \log x dx$ (部分積分)**

$u = \log x$, $dv = x^3 dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^4}{4}$

$\int_{1}^{e} x^3 \log x dx = \left[ \frac{x^4}{4} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} dx = \left[ \frac{x^4}{4} \log x \right]_{1}^{e} - \frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^3 dx$

$= \left( \frac{e^4}{4} \log e - \frac{1^4}{4} \log 1 \right) - \frac{1}{4} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{e} = \frac{e^4}{4} - 0 - \frac{1}{16} (e^4 - 1)$

$= \frac{4e^4}{16} - \frac{e^4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3e^4 + 1}{16}$

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3. 最終的な答え

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1. 連立1次方程式

(1) $|A| = 8$

(2) $x = 1, y = -1, z = 1$

(3) $C = \begin{pmatrix} 9 & 12 & -5 \\ 7 & 4 & -3 \\ 4 & 8 & -4 \end{pmatrix}$, $A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 9 & 7 & 4 \\ 12 & 4 & 8 \\ -5 & -3 & -4 \end{pmatrix}$

(4) $x = 1, y = -1, z = 1$

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2. 関数 $y = x^4 - 2x^2 + 1$

(1) 極大値: $1$ ($x=0$ のとき)

(2) 極小値: $0$ ($x=-1, 1$ のとき)

(3) 増減表: 上記参照

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3. 定積分

(1) $\int_{1}^{3} \frac{1}{(5-x)^2} dx = \frac{1}{4}$

(2) $\int_{1}^{e} x^3 \log x dx = \frac{3e^4 + 1}{16}$