問題28は、$x, y$ は実数とする。次の命題の真偽をいえ。また、その逆、対偶、裏を述べ、その真偽をいえ。 (1) 「$x=2$ ならば $x^2 - 3x + 2 = 0$」 (2) 「$x + y \ge 3$ ならば $x \ge 1$ かつ $y \ge 2$」 問題29は、$n$ を整数とする。命題「$n^2$ が3の倍数でなければ、$n$ は3の倍数でない」が真であることを対偶を考えて証明せよ。 問題30は、「$\sqrt{6}$ が無理数である」ことを用いて、「$\sqrt{3} + \sqrt{2}$ が無理数である」ことを示せ。

1. 問題の内容

問題28は、$x, y$ は実数とする。次の命題の真偽をいえ。また、その逆、対偶、裏を述べ、その真偽をいえ。

(1) 「$x=2$ ならば $x^2 - 3x + 2 = 0$」

(2) 「$x + y \ge 3$ ならば $x \ge 1$ かつ $y \ge 2$」

問題29は、$n$ を整数とする。命題「$n^2$ が3の倍数でなければ、$n$ は3の倍数でない」が真であることを対偶を考えて証明せよ。

問題30は、「$\sqrt{6}$ が無理数である」ことを用いて、「$\sqrt{3} + \sqrt{2}$ が無理数である」ことを示せ。

2. 解き方の手順

問題28 (1):

* 元の命題: 「$x=2$ ならば $x^2 - 3x + 2 = 0$」

* $x=2$ のとき、$x^2 - 3x + 2 = 2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$。したがって、この命題は真である。

* 逆: 「$x^2 - 3x + 2 = 0$ ならば $x=2$」

* $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0$ なので、$x=1, 2$。したがって、$x=1$ の場合があるので、この命題は偽である。

* 対偶: 「$x^2 - 3x + 2 \ne 0$ ならば $x \ne 2$」

* 元の命題が真なので、対偶も真である。

* 裏: 「$x \ne 2$ ならば $x^2 - 3x + 2 \ne 0$」

* 逆が偽なので、裏も偽である。

問題28 (2):

* 元の命題: 「$x + y \ge 3$ ならば $x \ge 1$ かつ $y \ge 2$」

* $x=3, y=0$ のとき、$x+y=3 \ge 3$ であるが、$y=0 < 2$。したがって、この命題は偽である。

* 逆: 「$x \ge 1$ かつ $y \ge 2$ ならば $x + y \ge 3$」

* $x \ge 1$ かつ $y \ge 2$ より、$x+y \ge 1+2 = 3$。したがって、$x+y \ge 3$ となり、この命題は真である。

* 対偶: 「$x < 1$ または $y < 2$ ならば $x + y < 3$」

* 元の命題が偽なので、対偶も偽である。

* 裏: 「$x + y < 3$ ならば $x < 1$ または $y < 2$」

* 逆が真なので、裏も真である。

問題29:

* 対偶: 「$n$ が3の倍数ならば、$n^2$ は3の倍数である」

* $n$ が3の倍数であるとき、$n = 3k$（$k$は整数）と表せる。

* このとき、$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ となり、$n^2$ は3の倍数である。

* したがって、対偶は真であり、元の命題も真である。

問題30:

* $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ が無理数であることを示すために、背理法を用いる。

* $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ が有理数であると仮定する。

* $\sqrt{3} + \sqrt{2} = r$（$r$ は有理数）とおく。

* 両辺を2乗すると、$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = r^2$

* $3 + 2\sqrt{6} + 2 = r^2$

* $5 + 2\sqrt{6} = r^2$

* $2\sqrt{6} = r^2 - 5$

* $\sqrt{6} = \frac{r^2 - 5}{2}$

* $r$ が有理数なので、$\frac{r^2 - 5}{2}$ も有理数である。

* これは、$\sqrt{6}$ が無理数であるという仮定に矛盾する。

* したがって、$\sqrt{3} + \sqrt{2}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

問題28:

(1)

* 元の命題: 真

* 逆: 偽

* 対偶: 真

* 裏: 偽

(2)

* 元の命題: 偽

* 逆: 真

* 対偶: 偽

* 裏: 真

問題29:

$n$ が3の倍数ならば、$n^2$ は3の倍数である。したがって題意は示された。

問題30:

$\sqrt{3} + \sqrt{2}$ は無理数である。