実数 $a$ に対して、3辺の長さがそれぞれ $a-1, a, a+1$ である三角形が存在する条件、その三角形が鈍角三角形となる条件を求める。また、内角が $120^\circ$ となる時の $a$ の値と、その時の外接円の半径を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、3辺の長さがそれぞれ $a-1, a, a+1$ である三角形が存在する条件、その三角形が鈍角三角形となる条件を求める。また、内角が $120^\circ$ となる時の $a$ の値と、その時の外接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(ア) 三角形が存在する条件（三角形の成立条件）を考える。

3辺の長さ $a-1, a, a+1$ が正である必要があるので、$a>1$。

また、三角形の成立条件から、

$a-1 + a > a+1$

$a-1 + a+1 > a$

$a + a+1 > a-1$

これらの不等式を解くと、

$2a-1 > a+1$ より $a > 2$

$2a > a$ より $a > 0$

$2a+1 > a-1$ より $a > -2$

したがって、$a>2$。

(イ) 鈍角三角形になる条件を考える。

最長の辺は $a+1$ なので、$(a+1)^2 > (a-1)^2 + a^2$ が成り立つ。

$a^2 + 2a + 1 > a^2 - 2a + 1 + a^2$

$0 > a^2 - 4a$

$a^2 - 4a < 0$

$a(a-4) < 0$

$0 < a < 4$

$a>2$ とあわせて、$2 < a < 4$

(ウ) 1つの内角が $120^\circ$ となる時を考える。

$a+1$ が対辺となる角が $120^\circ$ の時、余弦定理より、

$(a+1)^2 = (a-1)^2 + a^2 - 2(a-1)a \cos 120^\circ$

$a^2 + 2a + 1 = a^2 - 2a + 1 + a^2 - 2(a-1)a (-\frac{1}{2})$

$a^2 + 2a + 1 = a^2 - 2a + 1 + a^2 + a(a-1)$

$a^2 + 2a + 1 = a^2 - 2a + 1 + a^2 + a^2 - a$

$0 = 2a^2 - 5a$

$a(2a-5) = 0$

$a>2$ より $a = \frac{5}{2}$

(エ) 外接円の半径を求める。

$a=\frac{5}{2}$ のとき、各辺の長さは $a-1 = \frac{3}{2}, a = \frac{5}{2}, a+1 = \frac{7}{2}$。

$120^\circ$ の対辺の長さは $a+1=\frac{7}{2}$。

正弦定理より、$2R = \frac{\frac{7}{2}}{\sin 120^\circ}$

$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より

$2R = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{6}$

3. 最終的な答え

ア：$a > 2$

イ：$2 < a < 4$

ウ：$a = \frac{5}{2}$

エ：$\frac{7\sqrt{3}}{6}$