平行四辺形ABCDにおいて、以下のベクトルの内積を求めます。 (1) $\vec{AB} \cdot \vec{AF}$ (2) $\vec{EA} \cdot \vec{EF}$ (3) $\vec{FE} \cdot \vec{FD}$ (4) $\vec{EB} \cdot \vec{EC}$

## 問題23の解答

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、以下のベクトルの内積を求めます。

(1) $\vec{AB} \cdot \vec{AF}$

(2) $\vec{EA} \cdot \vec{EF}$

(3) $\vec{FE} \cdot \vec{FD}$

(4) $\vec{EB} \cdot \vec{EC}$

2. 解き方の手順

内積は、ベクトルの大きさの積と、なす角のコサインで表されます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos{\theta}$

(1) $\vec{AB} \cdot \vec{AF}$

$|\vec{AB}| = 2$, $|\vec{AF}| = AD - FD = 2\sqrt{3} - FD$

$\angle BAF = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$

$FD = AD \cos{60^{\circ}} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$

$|\vec{AF}| = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$

$\vec{AB} \cdot \vec{AF} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos{30^{\circ}} = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$

(2) $\vec{EA} \cdot \vec{EF}$

$|\vec{EA}| = \sqrt{3}$

$|\vec{EF}| = FD = \sqrt{3}$

$\angle AEF = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$

$\angle AEF = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

$\angle AEF$と$\angle AFE$の和は$90^\circ$なので、$\angle AFE = 60^\circ$.

$\angle AEF$と$\angle EFA$は同位角なので$\vec{EA}$と$\vec{EF}$のなす角は90度です。

$\vec{EA} \cdot \vec{EF} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos{90^{\circ}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 0 = 0$

(3) $\vec{FE} \cdot \vec{FD}$

$|\vec{FE}| = \sqrt{3}$

$|\vec{FD}| = \sqrt{3}$

$\angle EFD = 60^{\circ}$

$\vec{FE} \cdot \vec{FD} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos{60^{\circ}} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

(4) $\vec{EB} \cdot \vec{EC}$

$|\vec{EB}| = \sqrt{BE^2} = \sqrt{(AB/2)^2} = 1$

$|\vec{EC}| = \sqrt{3}$

$\angle BEC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$

$\vec{EB} \cdot \vec{EC} = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos{120^{\circ}} = \sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AB} \cdot \vec{AF} = 3$

(2) $\vec{EA} \cdot \vec{EF} = 0$

(3) $\vec{FE} \cdot \vec{FD} = \frac{3}{2}$

(4) $\vec{EB} \cdot \vec{EC} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$