関数 $y = -3x^2 + 6ax - 3a^2 + 12$ （ただし $-2 \le x \le 2$）の最小値を求める問題です。$a$ の範囲によって場合分けを行い、それぞれの最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = -3x^2 + 6ax - 3a^2 + 12$ （ただし $-2 \le x \le 2$）の最小値を求める問題です。$a$ の範囲によって場合分けを行い、それぞれの最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= -3x^2 + 6ax - 3a^2 + 12 \\

&= -3(x^2 - 2ax + a^2) + 12 \\

&= -3(x - a)^2 + 12

\end{align*}

このグラフは上に凸な放物線で、頂点の座標は $(a, 12)$ です。定義域 $-2 \le x \le 2$ における最小値を考えます。

i) $a < -2$ のとき、定義域内で $x$ が大きくなるほど $y$ は小さくなるので、$x = 2$ で最小値をとります。

このとき、

\begin{align*}

y &= -3(2 - a)^2 + 12 \\

&= -3(4 - 4a + a^2) + 12 \\

&= -12 + 12a - 3a^2 + 12 \\

&= -3a^2 + 12a

\end{align*}

ii) $-2 \le a \le 2$ のとき、軸 $x = a$ が定義域に含まれるので、$x = \pm 2$ のどちらかで最小値を取ります。

しかし、頂点からの距離が遠い方で最小値を取るので、$a$ を用いて場合分けしなくても、定義域の端で最小を取ります。$x = -2$ の時の $y$ の値と $x = 2$ の時の $y$ の値を比較します。

$x = -2$のとき、

\begin{align*}

y &= -3(-2-a)^2 + 12 \\

&= -3(4+4a+a^2)+12 \\

&= -12-12a-3a^2+12 \\

&= -3a^2 - 12a

\end{align*}

$x = 2$のとき、

\begin{align*}

y &= -3(2-a)^2+12 \\

&= -3(4-4a+a^2) + 12 \\

&= -12 + 12a - 3a^2 + 12 \\

&= -3a^2 + 12a

\end{align*}

iia) $-2 \le a < 0$ のとき $-12a > 12a$　なので、$x = -2$ で最小値 $-3a^2 - 12a$を取ります。

iib) $0 \le a \le 2$ のとき、 $-12a < 12a$ なので、$x = 2$ で最小値 $-3a^2 + 12a$ を取ります。

これらをまとめると、 $-2 \le a \le 2$ の場合、 $-3a^2-12a$ と $-3a^2+12a$ のどちらかが最小値となります。

iii) $2 < a$ のとき、定義域内で $x$ が小さくなるほど $y$ は小さくなるので、$x = -2$ で最小値をとります。

このとき、

\begin{align*}

y &= -3(-2 - a)^2 + 12 \\

&= -3(4 + 4a + a^2) + 12 \\

&= -12 - 12a - 3a^2 + 12 \\

&= -3a^2 - 12a

\end{align*}

まとめると、

i) $a < -2$ のとき、$x = 2$ で最小値 $-3a^2 + 12a$

ii) $-2 \le a \le 2$ のとき、$x = -2$ or $x = 2$ で最小値を取りえます。

iii) $2 < a$ のとき、$x = -2$ で最小値 $-3a^2 - 12a$

3. 最終的な答え

i) $a < -2$ のとき、$x = 2$ で最小値 $-3a^2 + 12a$

ii) $-2 \le a$ のとき、$x = -2$ で最小値 $-3a^2 - 12a$