複素数 $\alpha$ について、$|\alpha|=1$ のとき、$\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$ が実数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ について、$|\alpha|=1$ のとき、$\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$ が実数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

$\alpha$ が複素数であり、$|\alpha| = 1$ であることから、$\alpha \overline{\alpha} = |\alpha|^2 = 1$ が成り立ちます。

したがって、$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$ となります。

複素数 $z$ が実数であるための必要十分条件は、$z = \overline{z}$ であることです。

そこで、$\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$ の共役複素数を考えます。

$\overline{\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}} = \overline{\alpha^4} + \overline{\frac{1}{\alpha^4}} = \overline{\alpha}^4 + \frac{1}{\overline{\alpha}^4}$

$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$ であるから、

$\overline{\alpha}^4 + \frac{1}{\overline{\alpha}^4} = (\frac{1}{\alpha})^4 + \frac{1}{(\frac{1}{\alpha})^4} = \frac{1}{\alpha^4} + \frac{1}{\frac{1}{\alpha^4}} = \frac{1}{\alpha^4} + \alpha^4 = \alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$

したがって、$\overline{\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}} = \alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$ が成り立ちます。

これは、$\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$ が実数であることを意味します。

3. 最終的な答え

$\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$は実数である。