2次関数 $y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 12$ の $-5 \le x \le 3$ における最小値を求める問題です。場合分けをして、最小値を与える $x$ の値と最小値を求める必要があります。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 12$ の $-5 \le x \le 3$ における最小値を求める問題です。場合分けをして、最小値を与える $x$ の値と最小値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 2ax) - 2a^2 + 12$

$y = -2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - 2a^2 + 12$

$y = -2(x - a)^2 + 2a^2 - 2a^2 + 12$

$y = -2(x - a)^2 + 12$

このグラフは、頂点が $(a, 12)$ で、上に凸な放物線です。

定義域 $-5 \le x \le 3$ における最小値を考えるためには、軸 $x=a$ の位置によって場合分けが必要です。

i) $a < -5$ のとき

定義域 $-5 \le x \le 3$ において、$x = 3$ のときに最小値をとります。

$x = 3$ を元の式に代入すると、

$y = -2(3)^2 + 4a(3) - 2a^2 + 12 = -18 + 12a - 2a^2 + 12 = -2a^2 + 12a - 6$

このとき、最小値は $-2a^2 + 12a - 6$ となります。

ii) $-5 \le a \le 3$ のとき

定義域 $-5 \le x \le 3$ において、$x = -5$ または $x = 3$ のときに最小値をとります。

$x = -5$ を元の式に代入すると、

$y = -2(-5)^2 + 4a(-5) - 2a^2 + 12 = -50 - 20a - 2a^2 + 12 = -2a^2 - 20a - 38$

$x = 3$を元の式に代入すると、

$y = -2(3)^2 + 4a(3) - 2a^2 + 12 = -18 + 12a - 2a^2 + 12 = -2a^2 + 12a - 6$

$-2a^2 - 20a - 38 < -2a^2 + 12a - 6$を計算すると

$-20a - 38 < 12a - 6$

$-32 < 32a$

$-1 < a$

したがって$-5 \le a \le -1$のとき、$x = -5$ で最小値 $-2a^2 - 20a - 38$を取り、$-1 < a \le 3$のとき、$x = 3$で最小値 $-2a^2 + 12a - 6$をとります。

しかし、$a$の値に関わらず、$x=3$で最小値をとる場合も、$x=-5$で最小値をとる場合も考えられるので、場合分けの条件は$a > 3$のときと$a < -5$のときで考えることにします。

iii) $a > 3$ のとき

定義域 $-5 \le x \le 3$ において、$x = -5$ のときに最小値をとります。

$x = -5$ を元の式に代入すると、

$y = -2(-5)^2 + 4a(-5) - 2a^2 + 12 = -50 - 20a - 2a^2 + 12 = -2a^2 - 20a - 38$

このとき、最小値は $-2a^2 - 20a - 38$ となります。

まとめると、

i) $a < -5$ のとき、 $x = 3$ で最小値 $-2a^2 + 12a - 6$ をとる。

ii) $a > 3$ のとき、 $x = -5$ で最小値 $-2a^2 - 20a - 38$ をとる。

iii) $-5 \le a \le 3$ のとき、 $x = -5$ で最小値 $-2a^2 - 20a - 38$ をとるか、$x = 3$ で最小値 $-2a^2 + 12a - 6$ をとる。

$a=-5$のとき、$x=3$で最小値 $-2(-5)^2 + 12(-5) - 6 = -50 - 60 - 6 = -116$と、$x=-5$で最小値 $-2(-5)^2 - 20(-5) - 38 = -50 + 100 - 38 = 12$を比較して、$x=3$で最小値をとる場合を考えます。

$a=3$のとき、$x=3$で最小値 $-2(3)^2 + 12(3) - 6 = -18 + 36 - 6 = 12$と、$x=-5$で最小値 $-2(3)^2 - 20(3) - 38 = -18 - 60 - 38 = -116$を比較して、$x=-5$で最小値をとる場合を考えます。

i) $a < -5$ のとき、x = 3 で最小値 -2a^2 + 12a - 6 をとります。

ii) $-5 \le a \le 3$ のとき、xの値を場合分けをして最小値を考えます。

$-2a^2 + 12a - 6 = -2a^2 - 20a - 38$

$32a = -32$

$a = -1$

$-5 \le a \le -1$ のとき、$x=-5$で最小値 $-2a^2 - 20a - 38$

$-1 < a \le 3$ のとき、$x=3$で最小値 $-2a^2 + 12a - 6$

$a > 3$ のとき、$x = -5$ で最小値 $-2a^2 - 20a - 38$ をとります。

3. 最終的な答え

i) $a < -5$ のとき、 $x = 3$ で最小値 $-2a^2 + 12a - 6$ をとる。

ii) $-5 \le a \le 3$ のとき、$x = -5$ で最小値 $-2a^2 - 20a - 38$ をとるか、$x = 3$ で最小値 $-2a^2 + 12a - 6$ をとる。

まとめると、以下のようになります。

- $a < -5$ のとき：$x = 3$, 最小値 $-2a^2 + 12a - 6$

- $-5 \le a \le 3$ のとき：

- $-5 \le a \le -1$ のとき：$x = -5$, 最小値 $-2a^2 - 20a - 38$

- $-1 < a \le 3$ のとき：$x = 3$, 最小値 $-2a^2 + 12a - 6$

- $3 < a$ のとき：$x = -5$, 最小値 $-2a^2 - 20a - 38$

問題文は「〜≤aのとき」となっているので、上の$-5 \le a \le 3$の結果から

ii) $3 \le a$ のとき、x = -5 で最小値 $-2a^2 - 20a - 38$をとる

よって、最終的な答えは、

i) $a < -5$ のとき、$x = 3$で最小値 $-2a^2+12a-6$をとる

ii) $3 \le a$ のとき、$x = -5$で最小値 $-2a^2-20a-38$をとる