関数 $y = 2(x-a)^2 - 3$ の $-4 \le x \le 0$ における最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2(x-a)^2 - 3$ の $-4 \le x \le 0$ における最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = 2(x-a)^2 - 3$ は、下に凸な放物線を表し、頂点の座標は $(a, -3)$ です。定義域 $-4 \le x \le 0$ における最小値を、$a$ の値によって場合分けして考えます。

(1) $a < -4$ のとき、定義域 $-4 \le x \le 0$ において関数は単調増加します。したがって、$x = -4$ で最小値をとります。

最小値は $y = 2(-4 - a)^2 - 3 = 2(a + 4)^2 - 3$ です。

(2) $-4 \le a \le 0$ のとき、頂点が定義域内にあります。したがって、$x = a$ で最小値をとります。

最小値は $y = 2(a - a)^2 - 3 = -3$ です。

(3) $0 < a$ のとき、定義域 $-4 \le x \le 0$ において関数は単調減少します。したがって、$x = 0$ で最小値をとります。

最小値は $y = 2(0 - a)^2 - 3 = 2a^2 - 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a < -4$ のとき、$x = -4$ で最小値 $2(a+4)^2 - 3$

(2) $-4 \le a \le 0$ のとき、$x = a$ で最小値 $-3$

(3) $0 < a$ のとき、$x = 0$ で最小値 $2a^2 - 3$