放物線 $y = x^2 - 2x$ 上の点 P(3, 3) と原点 O(0, 0) における2つの接線の交点を Q とする。点 Q の座標を求め、放物線と2つの接線で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x$ 上の点 P(3, 3) と原点 O(0, 0) における2つの接線の交点を Q とする。点 Q の座標を求め、放物線と2つの接線で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 P(3, 3) における接線を求める。

$y = x^2 - 2x$ を微分すると、$y' = 2x - 2$ となる。

点 P(3, 3) における接線の傾きは $y'|_{x=3} = 2(3) - 2 = 4$ である。

よって、点 P(3, 3) における接線の方程式は、

$y - 3 = 4(x - 3)$

$y = 4x - 12 + 3$

$y = 4x - 9$

原点 O(0, 0) における接線を求める。

原点 O(0, 0) における接線の傾きは $y'|_{x=0} = 2(0) - 2 = -2$ である。

よって、原点 O(0, 0) における接線の方程式は、

$y - 0 = -2(x - 0)$

$y = -2x$

2つの接線の交点 Q の座標を求める。

$4x - 9 = -2x$

$6x = 9$

$x = \frac{3}{2}$

$y = -2(\frac{3}{2}) = -3$

したがって、点 Q の座標は $(\frac{3}{2}, -3)$ である。

(2) 放物線 $y = x^2 - 2x$ と2つの接線 $y = 4x - 9$ および $y = -2x$ で囲まれた部分の面積を求める。

$x^2 - 2x = 4x - 9$ を解くと、$x^2 - 6x + 9 = 0$ より $(x - 3)^2 = 0$, $x = 3$

$x^2 - 2x = -2x$ を解くと、$x^2 = 0$ より $x = 0$

求める面積は、

$\int_0^{3/2} (x^2 - 2x - (-2x)) dx + \int_{3/2}^3 (x^2 - 2x - (4x - 9)) dx$

$= \int_0^{3/2} x^2 dx + \int_{3/2}^3 (x^2 - 6x + 9) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3]_0^{3/2} + [\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x]_{3/2}^3$

$= \frac{1}{3}(\frac{3}{2})^3 + (\frac{1}{3}(3)^3 - 3(3)^2 + 9(3)) - (\frac{1}{3}(\frac{3}{2})^3 - 3(\frac{3}{2})^2 + 9(\frac{3}{2}))$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} + (9 - 27 + 27) - (\frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} - 3 \cdot \frac{9}{4} + \frac{27}{2})$

$= \frac{9}{8} + 9 - (\frac{9}{8} - \frac{27}{4} + \frac{27}{2})$

$= \frac{9}{8} + 9 - \frac{9}{8} + \frac{27}{4} - \frac{27}{2}$

$= 9 + \frac{27}{4} - \frac{54}{4}$

$= 9 - \frac{27}{4}$

$= \frac{36 - 27}{4} = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 点 Q の座標は $(\frac{3}{2}, -3)$

(2) 放物線と2つの接線で囲まれた部分の面積は $\frac{9}{4}$