関数 $f(x) = -x + 4\sqrt{x}$ の $0 \le x \le 9$ における最大値と最小値を求め、それぞれのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x + 4\sqrt{x}$ の $0 \le x \le 9$ における最大値と最小値を求め、それぞれのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -1 + \frac{4}{2\sqrt{x}} = -1 + \frac{2}{\sqrt{x}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-1 + \frac{2}{\sqrt{x}} = 0$

$\frac{2}{\sqrt{x}} = 1$

$\sqrt{x} = 2$

$x = 4$

次に、定義域の端点である $x=0$ および $x=9$ における $f(x)$ の値、そして $f'(x)=0$ となる $x=4$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(0) = -0 + 4\sqrt{0} = 0$

$f(4) = -4 + 4\sqrt{4} = -4 + 4(2) = -4 + 8 = 4$

$f(9) = -9 + 4\sqrt{9} = -9 + 4(3) = -9 + 12 = 3$

$x=0,4,9$ における関数の値はそれぞれ $0, 4, 3$ です。

したがって、最大値は $4$ ($x=4$ のとき) であり、最小値は $0$ ($x=0$ のとき) です。

3. 最終的な答え

A: 4

B: 4

C: 0

D: 0