与えられた関数 $F(t) = \int_0^t e^{-2x} \sin^2 x dx$ について、以下の問いに答える。 (1) $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$y = e^{-2x} \sin^2 x$ の極値を求める。 (2) $I(t) = \int_0^t e^{-2x} \cos 2x dx$, $J(t) = \int_0^t e^{-2x} \sin 2x dx$ とおく。このとき、以下の3つの等式が成り立つことを示す。 (a) $F(t) = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin^2 t + \frac{1}{2} J(t)$ (b) $I(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2t} \cos 2t - J(t)$ (c) $J(t) = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin 2t + I(t)$ (3) $\lim_{t \to \infty} F(t)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $F(t) = \int_0^t e^{-2x} \sin^2 x dx$ について、以下の問いに答える。

(1) $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$y = e^{-2x} \sin^2 x$ の極値を求める。

(2) $I(t) = \int_0^t e^{-2x} \cos 2x dx$, $J(t) = \int_0^t e^{-2x} \sin 2x dx$ とおく。このとき、以下の3つの等式が成り立つことを示す。

(a) $F(t) = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin^2 t + \frac{1}{2} J(t)$

(b) $I(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2t} \cos 2t - J(t)$

(c) $J(t) = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin 2t + I(t)$

(3) $\lim_{t \to \infty} F(t)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{-2x} \sin^2 x$ の極値を求める。

まず、$y$ を $x$ で微分する。

$y' = -2 e^{-2x} \sin^2 x + e^{-2x} (2 \sin x \cos x) = 2 e^{-2x} \sin x (\cos x - \sin x)$

$y' = 0$ となる $x$ を求める。$e^{-2x} > 0$ であるから、$\sin x = 0$ または $\cos x = \sin x$。

$\sin x = 0$ より $x = 0$。$\cos x = \sin x$ より $\tan x = 1$。よって、$x = \frac{\pi}{4}$。

次に、$y''$ を計算し、$x = 0$ と $x = \frac{\pi}{4}$ での符号を調べる。

$y'' = 2 [ -2 e^{-2x} \sin x (\cos x - \sin x) + e^{-2x} \cos x (\cos x - \sin x) + e^{-2x} \sin x (-\sin x - \cos x) ]$

$= 2 e^{-2x} [ -2 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x + \cos^2 x - \sin x \cos x - \sin^2 x - \sin x \cos x ]$

$= 2 e^{-2x} [ \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + \cos^2 x ] = 2 e^{-2x} [ 1 - 4 \sin x \cos x ] = 2 e^{-2x} [ 1 - 2 \sin 2x ]$

$x = 0$ のとき、$y'' = 2 e^0 [ 1 - 2 \sin 0 ] = 2 > 0$ なので、極小値 $y(0) = e^0 \sin^2 0 = 0$。

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$y'' = 2 e^{-\pi/2} [ 1 - 2 \sin \frac{\pi}{2} ] = 2 e^{-\pi/2} (1 - 2) = -2 e^{-\pi/2} < 0$ なので、極大値 $y(\frac{\pi}{4}) = e^{-\pi/2} \sin^2 \frac{\pi}{4} = e^{-\pi/2} (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} e^{-\pi/2}$。

(2) (a), (b), (c) の等式を示す。

(a) 部分積分を用いて、$F(t) = \int_0^t e^{-2x} \sin^2 x dx = \int_0^t \sin^2 x \frac{d}{dx} (-\frac{1}{2} e^{-2x}) dx = [-\frac{1}{2} e^{-2x} \sin^2 x]_0^t - \int_0^t (-\frac{1}{2} e^{-2x}) 2 \sin x \cos x dx$

$= -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin^2 t - \int_0^t e^{-2x} (-\sin x \cos x) dx = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin^2 t + \frac{1}{2} \int_0^t e^{-2x} \sin 2x dx = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin^2 t + \frac{1}{2} J(t)$

(b) 部分積分を用いて、$I(t) = \int_0^t e^{-2x} \cos 2x dx = \int_0^t \cos 2x \frac{d}{dx} (-\frac{1}{2} e^{-2x}) dx = [-\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 2x]_0^t - \int_0^t (-\frac{1}{2} e^{-2x}) (-2 \sin 2x) dx$

$= -\frac{1}{2} e^{-2t} \cos 2t - (-\frac{1}{2} e^0 \cos 0) - \int_0^t e^{-2x} \sin 2x dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2t} \cos 2t - J(t)$

(c) 部分積分を用いて、$J(t) = \int_0^t e^{-2x} \sin 2x dx = \int_0^t \sin 2x \frac{d}{dx} (-\frac{1}{2} e^{-2x}) dx = [-\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 2x]_0^t - \int_0^t (-\frac{1}{2} e^{-2x}) (2 \cos 2x) dx$

$= -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin 2x + \int_0^t e^{-2x} \cos 2x dx = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin 2t + I(t)$

(3) $\lim_{t \to \infty} F(t)$ を求める。

(b) と (c) より、$I(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2t} \cos 2t - J(t)$ かつ $J(t) = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin 2t + I(t)$。

$J(t) = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin 2t + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2t} \cos 2t - J(t)$

$2 J(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2t} (\sin 2t + \cos 2t)$

$J(t) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} e^{-2t} (\sin 2t + \cos 2t)$

(a) より、$F(t) = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin^2 t + \frac{1}{2} J(t) = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin^2 t + \frac{1}{2} [ \frac{1}{4} - \frac{1}{4} e^{-2t} (\sin 2t + \cos 2t) ]$

$F(t) = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} e^{-2t} \sin^2 t - \frac{1}{8} e^{-2t} (\sin 2t + \cos 2t)$

$\lim_{t \to \infty} F(t) = \lim_{t \to \infty} [ \frac{1}{8} - \frac{1}{2} e^{-2t} \sin^2 t - \frac{1}{8} e^{-2t} (\sin 2t + \cos 2t) ]$

$\lim_{t \to \infty} e^{-2t} = 0$ であるから、

$\lim_{t \to \infty} F(t) = \frac{1}{8} - 0 - 0 = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 0$ で極小値 $0$、$x = \frac{\pi}{4}$ で極大値 $\frac{1}{2} e^{-\pi/2}$

(2) 上記参照

(3) $\lim_{t \to \infty} F(t) = \frac{1}{8}$