2つの関数 $f(x) = \log_2 x$ と $g(x) = |x^2 - 2x - 3| - |x^2 - x|$ が与えられている。合成関数 $h(x) = g(f(x))$ について、以下の問いに答える。 (1) $\frac{1}{16} \le x \le 4$ のとき、$f(x)$ の取りうる値の範囲を求める。 (2) $\frac{1}{16} \le x \le 4$ のとき、$h(x)$ の取りうる値の範囲を求める。 (3) 関数 $y = h(x) \ (\frac{1}{16} \le x \le 4)$ のグラフと直線 $y = 1$ の共有点の個数と、共有点の $x$ 座標をすべて求める。 (4) 定数 $a$ に対して、関数 $y = h(x) \ (\frac{1}{16} \le x \le 4)$ のグラフと直線 $y = a$ が共有点を持つとき、共有点の個数を $a$ の値によって場合分けして求める。

## 回答

1. 問題の内容

2つの関数 $f(x) = \log_2 x$ と $g(x) = |x^2 - 2x - 3| - |x^2 - x|$ が与えられている。合成関数 $h(x) = g(f(x))$ について、以下の問いに答える。

(1) $\frac{1}{16} \le x \le 4$ のとき、$f(x)$ の取りうる値の範囲を求める。

(2) $\frac{1}{16} \le x \le 4$ のとき、$h(x)$ の取りうる値の範囲を求める。

(3) 関数 $y = h(x) \ (\frac{1}{16} \le x \le 4)$ のグラフと直線 $y = 1$ の共有点の個数と、共有点の $x$ 座標をすべて求める。

(4) 定数 $a$ に対して、関数 $y = h(x) \ (\frac{1}{16} \le x \le 4)$ のグラフと直線 $y = a$ が共有点を持つとき、共有点の個数を $a$ の値によって場合分けして求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \log_2 x$ は単調増加関数である。

$\frac{1}{16} \le x \le 4$ であるから、

$f(\frac{1}{16}) \le f(x) \le f(4)$ となる。

$f(\frac{1}{16}) = \log_2 (\frac{1}{16}) = \log_2 2^{-4} = -4$

$f(4) = \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$

したがって、$-4 \le f(x) \le 2$

(2) $h(x) = g(f(x))$ である。まず、$g(x)$ を簡単にする。

$g(x) = |x^2 - 2x - 3| - |x^2 - x| = |(x-3)(x+1)| - |x(x-1)|$

(1)より、$-4 \le f(x) \le 2$であるから、

$g(f(x)) = |(f(x)-3)(f(x)+1)| - |f(x)(f(x)-1)|$

$-4 \le f(x) \le -1$ のとき、$f(x)-3 < 0$、$f(x)+1 \le 0$、$f(x) < 0$、$f(x)-1 < 0$ なので、

$g(f(x)) = (f(x)-3)(f(x)+1) - f(x)(f(x)-1) = (f(x)^2 - 2f(x) - 3) - (f(x)^2 - f(x)) = -f(x) - 3$

$-1 < f(x) \le 0$ のとき、$f(x)-3 < 0$、$f(x)+1 > 0$、$f(x) \le 0$、$f(x)-1 < 0$ なので、

$g(f(x)) = -(f(x)-3)(f(x)+1) - f(x)(f(x)-1) = -(f(x)^2 - 2f(x) - 3) - (f(x)^2 - f(x)) = -2f(x)^2 + 3f(x) + 3$

$0 < f(x) \le 1$ のとき、$f(x)-3 < 0$、$f(x)+1 > 0$、$f(x) > 0$、$f(x)-1 \le 0$ なので、

$g(f(x)) = -(f(x)-3)(f(x)+1) + f(x)(f(x)-1) = -(f(x)^2 - 2f(x) - 3) + (f(x)^2 - f(x)) = f(x) + 3$

$1 < f(x) \le 2$ のとき、$f(x)-3 < 0$、$f(x)+1 > 0$、$f(x) > 0$、$f(x)-1 > 0$ なので、

$g(f(x)) = -(f(x)-3)(f(x)+1) - f(x)(f(x)-1) = -(f(x)^2 - 2f(x) - 3) - (f(x)^2 - f(x)) = -2f(x)^2 + 3f(x) + 3$

$-4 \le f(x) \le -1$ のとき、$h(x) = -f(x) - 3$。$-f(x)$ の範囲は $1 \le -f(x) \le 4$ なので、$h(x)$ の範囲は $-2 \le h(x) \le 1$

$-1 < f(x) \le 0$ のとき、$h(x) = -2f(x)^2 + 3f(x) + 3$。$f(x) = t$ とおくと、$-1 < t \le 0$ で、$h(x) = -2t^2 + 3t + 3$ となる。

これは上に凸な放物線で、頂点は $t = \frac{-3}{2(-2)} = \frac{3}{4}$ にある。頂点の値は $-2(\frac{3}{4})^2 + 3(\frac{3}{4}) + 3 = -2(\frac{9}{16}) + \frac{9}{4} + 3 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} + \frac{24}{8} = \frac{33}{8}$。ただし、この範囲ではない。$t = -1$ のとき $h(x) = -2(-1)^2 + 3(-1) + 3 = -2 - 3 + 3 = -2$。$t = 0$ のとき $h(x) = 3$。したがって、$-2 < h(x) \le 3$

$0 < f(x) \le 1$ のとき、$h(x) = f(x) + 3$。$f(x)$ の範囲は $0 < f(x) \le 1$ なので、$h(x)$ の範囲は $3 < h(x) \le 4$

$1 < f(x) \le 2$ のとき、$h(x) = -2f(x)^2 + 3f(x) + 3$。$f(x) = t$ とおくと、$1 < t \le 2$ で、$h(x) = -2t^2 + 3t + 3$ となる。これは上に凸な放物線で、頂点は $t = \frac{3}{4}$ にある。$t = 1$ のとき $h(x) = -2(1)^2 + 3(1) + 3 = -2 + 3 + 3 = 4$。$t = 2$ のとき $h(x) = -2(2)^2 + 3(2) + 3 = -8 + 6 + 3 = 1$。したがって、$1 \le h(x) < 4$

$h(x)$ の範囲は、$-2 \le h(x) \le 4$。

(3) $h(x) = 1$ となる $x$ を求める。

$-4 \le f(x) \le -1$ のとき、$-f(x) - 3 = 1$ より、$-f(x) = 4$、$f(x) = -4$。$\log_2 x = -4$、$x = 2^{-4} = \frac{1}{16}$

$-1 < f(x) \le 0$ のとき、$-2f(x)^2 + 3f(x) + 3 = 1$ より、$2f(x)^2 - 3f(x) - 2 = 0$、$(2f(x)+1)(f(x)-2) = 0$、$f(x) = -\frac{1}{2}, 2$。$-1 < f(x) \le 0$ なので、$f(x) = -\frac{1}{2}$。$\log_2 x = -\frac{1}{2}$、$x = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 < f(x) \le 1$ のとき、$f(x) + 3 = 1$ より、$f(x) = -2$。これは範囲外。

$1 < f(x) \le 2$ のとき、$-2f(x)^2 + 3f(x) + 3 = 1$ より、$2f(x)^2 - 3f(x) - 2 = 0$、$(2f(x)+1)(f(x)-2) = 0$、$f(x) = -\frac{1}{2}, 2$。$1 < f(x) \le 2$ なので、$f(x) = 2$。$\log_2 x = 2$、$x = 2^2 = 4$

共有点の個数は3個。共有点のx座標は $\frac{1}{16}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 4$

(4) $y=h(x) \ (\frac{1}{16} \le x \le 4)$ のグラフと直線 $y=a$ が共有点を持つとき、共有点の個数を $a$ の値によって場合分けする。

$h(x)$ の取りうる値の範囲は $-2 \le h(x) \le 4$ であるから、$a$ の範囲は $-2 \le a \le 4$ である。

$a < -2$ のとき、共有点の個数は 0 個

$a = -2$ のとき、共有点の個数は 1 個

$-2 < a < 1$ のとき、共有点の個数は 0 個

$a = 1$ のとき、共有点の個数は 3 個 （(3)の結果）

$1 < a < 3$ のとき、共有点の個数は 2 個

$a = 3$ のとき、共有点の個数は 2 個

$3 < a < 4$ のとき、共有点の個数は 2 個

$a = 4$ のとき、共有点の個数は 2 個

$a > 4$ のとき、共有点の個数は 0 個

3. 最終的な答え

(1) $-4 \le f(x) \le 2$

(2) $-2 \le h(x) \le 4$

(3) 共有点の個数: 3個

共有点の $x$ 座標: $x = \frac{1}{16}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 4$

(4)

$a < -2$ のとき、0個

$a = -2$ のとき、1個

$-2 < a < 1$ のとき、0個

$a = 1$ のとき、3個

$1 < a < 3$ のとき、2個

$a = 3$ のとき、2個

$3 < a < 4$ のとき、2個

$a = 4$ のとき、2個

$a > 4$ のとき、0個