次の関数のグラフの概形をかけ。 (1) $y = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$ (2) $y = e^{\frac{1}{x}}$ ここでは、(1)の関数についてのみ解きます。

1. 問題の内容

次の関数のグラフの概形をかけ。

(1) $y = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$

(2) $y = e^{\frac{1}{x}}$

ここでは、(1)の関数についてのみ解きます。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$ のグラフの概形を描く。

(i) 定義域：$x \neq 2$

(ii) $y$切片：$x=0$ のとき $y = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$

(iii) 漸近線：

垂直漸近線：$x = 2$

斜め漸近線：分子の次数が分母の次数より1大きいので、斜め漸近線が存在する。

実際に割り算を実行すると、

$x^2 - 3 = (x - 2)(x + 2) + 1$

したがって、

$y = \frac{x^2 - 3}{x - 2} = x + 2 + \frac{1}{x - 2}$

$x \to \pm \infty$ のとき、$\frac{1}{x - 2} \to 0$ なので、斜め漸近線は $y = x + 2$ である。

(iv) 増減：

$y' = \frac{2x(x-2) - (x^2 - 3)}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 3}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)^2}$

$y' = 0$ となるのは $x = 1, 3$

$y'' = \frac{(2x - 4)(x - 2)^2 - 2(x - 2)(x^2 - 4x + 3)}{(x - 2)^4} = \frac{(2x - 4)(x - 2) - 2(x^2 - 4x + 3)}{(x - 2)^3} = \frac{2x^2 - 8x + 8 - 2x^2 + 8x - 6}{(x - 2)^3} = \frac{2}{(x - 2)^3}$

$y''$ は $x = 2$ で定義されない。

$y'' > 0$ となるのは $x > 2$ のとき、$y'' < 0$ となるのは $x < 2$ のとき。

増減表

$x$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ | $2$ | $\cdots$ | $3$ | $\cdots$

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$y'$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$

$y''$ | $-$ | $-$ | $-$ | $\infty$ | $+$ | $+$ | $+$

$y$ | $\nearrow$ | $4$ | $\searrow$ | $\infty$ | $\searrow$ | $6$ | $\nearrow$

極大値：$x = 1$ のとき、$y = \frac{1 - 3}{1 - 2} = \frac{-2}{-1} = 2$

極小値：$x = 3$ のとき、$y = \frac{9 - 3}{3 - 2} = \frac{6}{1} = 6$

グラフの概形は省略します。

3. 最終的な答え

(1)の関数のグラフの概形を描くための情報は以下の通りです。

* 定義域: $x \neq 2$

* $y$切片: $(0, \frac{3}{2})$

* 垂直漸近線: $x = 2$

* 斜め漸近線: $y = x + 2$

* 極大値: $(1, 2)$

* 極小値: $(3, 6)$

* $x < 2$ のとき、$y'' < 0$ (下に凸)

* $x > 2$ のとき、$y'' > 0$ (上に凸)