複素数平面上で、点 $z$ が点 $1$ を通り実軸に垂直な直線上を動くとき、$w = \frac{1}{z}$ で表される点 $w$ はどのような図形を描くか。

1. 問題の内容

複素数平面上で、点 $z$ が点 $1$ を通り実軸に垂直な直線上を動くとき、$w = \frac{1}{z}$ で表される点 $w$ はどのような図形を描くか。

2. 解き方の手順

点 $z$ は点 $1$ を通り実軸に垂直な直線上を動くので、$z = 1 + yi$ （$y$ は実数）と表せる。

$w = \frac{1}{z}$ より、

$w = \frac{1}{1+yi}$

$w$ の実部と虚部をそれぞれ $u$, $v$ とおくと、$w = u + vi$ と表せる。

$w = \frac{1}{1+yi}$ の両辺に $1+yi$ を掛けて、

$w(1+yi) = 1$

$u + vi = \frac{1}{1+yi}$

$u + vi = \frac{1}{1+yi} \cdot \frac{1-yi}{1-yi}$

$u + vi = \frac{1-yi}{1+y^2}$

$u + vi = \frac{1}{1+y^2} - \frac{y}{1+y^2}i$

$u = \frac{1}{1+y^2}$, $v = -\frac{y}{1+y^2}$

$u = \frac{1}{1+y^2}$ より、$1+y^2 = \frac{1}{u}$。したがって、$y^2 = \frac{1}{u} - 1 = \frac{1-u}{u}$。

$v = -\frac{y}{1+y^2}$ より、$v = -y \cdot u$。したがって、$y = -\frac{v}{u}$。

$y^2 = \frac{v^2}{u^2}$ なので、

$\frac{v^2}{u^2} = \frac{1-u}{u}$

$v^2 = u(1-u)$

$v^2 = u - u^2$

$u^2 - u + v^2 = 0$

$(u - \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + v^2 = 0$

$(u - \frac{1}{2})^2 + v^2 = \frac{1}{4}$

これは、中心 $(\frac{1}{2}, 0)$ 、半径 $\frac{1}{2}$ の円を表す。

$z = 1+yi$ より、$z \neq 0$ なので、$w = \frac{1}{z}$ は原点を持たない。したがって、$w$ は原点を通らない。

円 $(u - \frac{1}{2})^2 + v^2 = \frac{1}{4}$ は原点 $(0,0)$ を通る。したがって、この円から原点を除いたものが答えとなる。

3. 最終的な答え

中心 $\frac{1}{2}$ 、半径 $\frac{1}{2}$ の円。ただし、原点を除く。