はい、承知いたしました。問題集の問題を解いていきます。今回は、問題1の(3)と問題4の(1)を解きます。

はい、承知いたしました。問題集の問題を解いていきます。今回は、問題1の(3)と問題4の(1)を解きます。

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1. 問題の内容**

* 問題1(3): $\lim_{x \to 0} x \sin{\frac{1}{x}}$ の極限値を求める。

* 問題4(1): $\sin^{-1}x = \tan^{-1}\sqrt{5}$ の方程式を解く。

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2. 解き方の手順**

* **問題1(3): $\lim_{x \to 0} x \sin{\frac{1}{x}}$**

$\sin{\frac{1}{x}}$ は $-1$ から $1$ の間の値をとります。

したがって、$x \to 0$ のとき、$x$ に $-1$ から $1$ の間の値をかけた $x \sin{\frac{1}{x}}$ は $0$ に近づきます。

これは、はさみうちの原理から示すこともできます。

$-1 \leq \sin{\frac{1}{x}} \leq 1$ より、

$-|x| \leq x \sin{\frac{1}{x}} \leq |x|$

$\lim_{x \to 0} -|x| = 0$ かつ $\lim_{x \to 0} |x| = 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} x \sin{\frac{1}{x}} = 0$

* **問題4(1): $\sin^{-1}x = \tan^{-1}\sqrt{5}$**

$\theta = \tan^{-1}\sqrt{5}$ とすると、$\tan\theta = \sqrt{5}$ です。

ここで、$\sin^{-1}x = \tan^{-1}\sqrt{5}$ より、$x = \sin(\tan^{-1}\sqrt{5}) = \sin\theta$ となります。

$\tan\theta = \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{1}$ より、直角三角形の対辺が$\sqrt{5}$、隣辺が$1$と考えることができます。

このとき、斜辺は$\sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ です。

したがって、$\sin\theta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$ となります。

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3. 最終的な答え**

* 問題1(3): $\lim_{x \to 0} x \sin{\frac{1}{x}} = 0$

* 問題4(1): $x = \frac{\sqrt{30}}{6}$