曲線 $y = x - \frac{1}{x}$ の法線のうち、原点を通るもののの方程式を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x - \frac{1}{x}$ の法線のうち、原点を通るもののの方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、曲線の微分を計算する。

$y' = 1 + \frac{1}{x^2}$

(2) 曲線上の点 $(t, t - \frac{1}{t})$ における接線の傾きは $1 + \frac{1}{t^2}$ である。

(3) 点 $(t, t - \frac{1}{t})$ における法線の傾きは、接線の傾きの逆数に負号をつけたものなので、

$-\frac{1}{1 + \frac{1}{t^2}} = -\frac{t^2}{t^2 + 1}$

(4) 点 $(t, t - \frac{1}{t})$ を通り、傾きが $-\frac{t^2}{t^2 + 1}$ の直線の方程式は、

$y - (t - \frac{1}{t}) = -\frac{t^2}{t^2 + 1}(x - t)$

(5) この直線が原点 $(0, 0)$ を通るので、代入すると、

$0 - (t - \frac{1}{t}) = -\frac{t^2}{t^2 + 1}(0 - t)$

$-t + \frac{1}{t} = \frac{t^3}{t^2 + 1}$

両辺に $t(t^2+1)$ を掛けて、

$(-t^2 + 1)(t^2 + 1) = t^4$

$-t^4 - t^2 + t^2 + 1 = t^4$

$-t^4 + 1 = t^4$

$2t^4 = 1$

$t^4 = \frac{1}{2}$

$t^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$t = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

(6) 法線の傾きは $-\frac{t^2}{t^2 + 1} = -\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}} + 1} = -\frac{1}{\frac{}{\sqrt{2}} + 1} = -\frac{1}{1 + \sqrt{2}}$

$t^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を $t = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ に代入して計算すると、

$-\frac{t^2}{t^2 + 1} = -\frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2} + 1} = -\frac{1}{1 + \sqrt{2}} = -(\sqrt{2} - 1) = 1 - \sqrt{2}$

(7) $t$ の値を $y - (t - \frac{1}{t}) = -\frac{t^2}{t^2 + 1}(x - t)$に代入し、

$y = (1-\sqrt{2}) x$

$t = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$の時、

$t - \frac{1}{t} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} - \sqrt[4]{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt[4]{2}}$

$y - \frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt[4]{2}} = (1-\sqrt{2})(x - \frac{1}{\sqrt[4]{2}}) = (1-\sqrt{2})x - \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt[4]{2}}$

$y = (1-\sqrt{2})x$

$t = -\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$の時も同様に計算すると、$y = (1-\sqrt{2})x$となる。

3. 最終的な答え

$y = (1-\sqrt{2})x$