次の2つの関数を微分する問題です。 (i) $(xe^x)^n$ (ii) $(\sin 2x)^n$

1. 問題の内容

次の2つの関数を微分する問題です。

(i) $(xe^x)^n$

(ii) $(\sin 2x)^n$

2. 解き方の手順

(i) $(xe^x)^n$ の微分

関数 $y = (xe^x)^n$ を微分します。まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln((xe^x)^n) = n \ln(xe^x) = n (\ln x + \ln e^x) = n(\ln x + x)$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = n(\frac{1}{x} + 1) = n \frac{1+x}{x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y \cdot n \frac{1+x}{x} = (xe^x)^n \cdot n \frac{1+x}{x} = n (xe^x)^n \frac{1+x}{x} = n x^{n-1} e^{nx} (1+x)$

(ii) $(\sin 2x)^n$ の微分

関数 $y = (\sin 2x)^n$ を微分します。まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln ((\sin 2x)^n) = n \ln(\sin 2x)$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = n \frac{1}{\sin 2x} \cdot \cos 2x \cdot 2 = 2n \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = 2n \cot 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y \cdot 2n \cot 2x = (\sin 2x)^n \cdot 2n \cot 2x = 2n (\sin 2x)^n \cot 2x$

3. 最終的な答え

(i) $n x^{n-1} e^{nx} (1+x)$

(ii) $2n (\sin 2x)^n \cot 2x$