与えられたスカラー関数 $f(x, y, z) = x^2 y^2 + xyz + 3xz^2$ について、 (1) 勾配 $\text{grad } f$ を求め、 (2) 単位ベクトル $a_n = (a_x + a_y + a_z) / \sqrt{3}$ が与えられたとき、点(1, 1, 1)における $\text{grad } f$ の $a_n$ 方向成分を求める。

## 演習 10-5

1. 問題の内容

与えられたスカラー関数 $f(x, y, z) = x^2 y^2 + xyz + 3xz^2$ について、

(1) 勾配 $\text{grad } f$ を求め、

(2) 単位ベクトル $a_n = (a_x + a_y + a_z) / \sqrt{3}$ が与えられたとき、点(1, 1, 1)における $\text{grad } f$ の $a_n$ 方向成分を求める。

2. 解き方の手順

(1) 勾配 $\text{grad } f$ を求める。

$\text{grad } f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$ より、各偏微分を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 y^2 + xyz + 3xz^2) = 2xy^2 + yz + 3z^2$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 y^2 + xyz + 3xz^2) = 2x^2 y + xz$

$\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (x^2 y^2 + xyz + 3xz^2) = xy + 6xz$

したがって、

$\text{grad } f = (2xy^2 + yz + 3z^2, 2x^2 y + xz, xy + 6xz)$

(2) 点 (1, 1, 1) における $\text{grad } f$ を求める。

$\text{grad } f (1, 1, 1) = (2(1)(1)^2 + (1)(1) + 3(1)^2, 2(1)^2 (1) + (1)(1), (1)(1) + 6(1)(1)) = (2 + 1 + 3, 2 + 1, 1 + 6) = (6, 3, 7)$

次に、単位ベクトル $a_n = (1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$ の方向成分を求める。これは $\text{grad } f (1, 1, 1)$ と $a_n$ の内積で与えられる。

$\text{grad } f (1, 1, 1) \cdot a_n = (6, 3, 7) \cdot (1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}) = \frac{6}{\sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$

$16/\sqrt{3} = (16\sqrt{3})/3$

3. 最終的な答え

(1) $\text{grad } f = (2xy^2 + yz + 3z^2, 2x^2 y + xz, xy + 6xz)$

(2) $\text{grad } f (1, 1, 1)$ の $a_n$ 方向成分: $\frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$