次の関数のn次導関数を求めよ。 (i) $xe^x$ (ii) $\sin(2x)$

1. 問題の内容

次の関数のn次導関数を求めよ。

(i) $xe^x$

(ii) $\sin(2x)$

2. 解き方の手順

(i) $xe^x$のn次導関数を求める。

ライプニッツの公式を使う。$u=x$, $v=e^x$ とすると、

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

$u=x$ なので、$u'=1$, $u''=u'''= \dots = 0$ となる。したがって、$k \ge 2$ の項はすべてゼロになる。

$(xe^x)^{(n)} = \binom{n}{0} x (e^x)^{(n)} + \binom{n}{1} 1 (e^x)^{(n-1)} = x e^x + n e^x = (x+n)e^x$

(ii) $\sin(2x)$のn次導関数を求める。

$\sin(2x)$ を微分すると、

$(\sin(2x))' = 2\cos(2x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{2})$

$(\sin(2x))'' = -4\sin(2x) = 2^2\sin(2x + 2\frac{\pi}{2})$

$(\sin(2x))''' = -8\cos(2x) = 2^3\sin(2x + 3\frac{\pi}{2})$

$(\sin(2x))^{(n)} = 2^n\sin(2x + n\frac{\pi}{2})$

3. 最終的な答え

(i) $(xe^x)^{(n)} = (x+n)e^x$

(ii) $(\sin(2x))^{(n)} = 2^n\sin(2x + \frac{n\pi}{2})$