関数 $f(x) = x^2(x+1)^{\frac{1}{4}}$ の解析をする問題です。$x$ の範囲は $-1 < x$ です。問題文に解析内容が指定されていないため、ここでは導関数を求めることにします。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2(x+1)^{\frac{1}{4}}$ の解析をする問題です。$x$ の範囲は $-1 < x$ です。問題文に解析内容が指定されていないため、ここでは導関数を求めることにします。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分法則を使用します。

積の微分法則は、$(uv)' = u'v + uv'$ です。

$f(x) = x^2 (x+1)^{\frac{1}{4}}$ なので、

$u = x^2$, $v = (x+1)^{\frac{1}{4}}$ とおくと、

$u' = 2x$, $v' = \frac{1}{4}(x+1)^{-\frac{3}{4}}$ となります。

したがって、

$f'(x) = 2x(x+1)^{\frac{1}{4}} + x^2 \cdot \frac{1}{4} (x+1)^{-\frac{3}{4}}$

$f'(x) = 2x(x+1)^{\frac{1}{4}} + \frac{x^2}{4(x+1)^{\frac{3}{4}}}$

$f'(x) = \frac{8x(x+1) + x^2}{4(x+1)^{\frac{3}{4}}}$

$f'(x) = \frac{8x^2 + 8x + x^2}{4(x+1)^{\frac{3}{4}}}$

$f'(x) = \frac{9x^2 + 8x}{4(x+1)^{\frac{3}{4}}}$

$f'(x) = \frac{x(9x + 8)}{4(x+1)^{\frac{3}{4}}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{x(9x + 8)}{4(x+1)^{\frac{3}{4}}}$