与えられた関数 $f(x,y)$ について、以下の問いに答えます。ただし、$c$ は定数です。 (1) $c=0$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めます。 (2) $c=1$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めます。 (3) $c=0$ のとき、$f_{xy}(0,0)$ と $f_{yx}(0,0)$ を求めます。 ただし、問題文に $f(x,y)$ が明示されていません。問題を解くためには、$f(x,y)$ の具体的な式が必要です。ここでは、$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2}$（ただし$(x,y) \neq (0,0)$ のとき）とし、$f(0,0)=0$ と仮定して進めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x,y)$ について、以下の問いに答えます。ただし、$c$ は定数です。

(1) $c=0$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めます。

(2) $c=1$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めます。

(3) $c=0$ のとき、$f_{xy}(0,0)$ と $f_{yx}(0,0)$ を求めます。

ただし、問題文に $f(x,y)$ が明示されていません。問題を解くためには、$f(x,y)$ の具体的な式が必要です。ここでは、$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2}$（ただし$(x,y) \neq (0,0)$ のとき）とし、$f(0,0)=0$ と仮定して進めます。

2. 解き方の手順

(1) $c=0$ のとき:

$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2}$（ただし$(x,y) \neq (0,0)$ のとき）とし、$f(0,0)=0$ と仮定。

$f_x(0,0)$ は次の式で定義されます。

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}$

$f(h,0) = \frac{h^2 \cdot 0}{h^2 + 0^2} = 0$ なので、

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$f_y(0,0)$ は次の式で定義されます。

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}$

$f(0,k) = \frac{0^2 \cdot k}{0^2 + k^2} = 0$ なので、

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

(2) $c=1$ のとき:

$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2} + x + y$（ただし$(x,y) \neq (0,0)$ のとき）とし、$f(0,0)=0$ と仮定。

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}$

$f(h,0) = \frac{h^2 \cdot 0}{h^2 + 0^2} + h + 0 = h$ なので、

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{h - 0}{h} = 1$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}$

$f(0,k) = \frac{0^2 \cdot k}{0^2 + k^2} + 0 + k = k$ なので、

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{k - 0}{k} = 1$

(3) $c=0$ のとき:

$f_x(x,y) = \frac{2xy(x^2+y^2) - x^2y(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}$

$f_y(x,y) = \frac{x^2(x^2+y^2) - x^2y(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^4-x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}$

$f_{xy}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f_x(0,k) - f_x(0,0)}{k}$

$f_x(0,k) = \frac{2 \cdot 0 \cdot k^3}{(0^2+k^2)^2} = 0$ なので、$f_{xy}(0,0) = 0$

$f_{yx}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_y(h,0) - f_y(0,0)}{h}$

$f_y(h,0) = \frac{h^4-h^2 \cdot 0^2}{(h^2+0^2)^2} = \frac{h^4}{h^4} = 1$ なので、$f_{yx}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{1 - 0}{h}$ となりますが、これは存在しません。

$f_y(0,0) = 0$ なので、$f_y(h,0) - f_y(0,0) = 1-0 = 1$. よって、$f_{yx}(0,0)$ は存在しません.

実際には、$f_x(0,y) = 0$ および $f_y(x,0) = 1$ を使うと、

$f_{xy}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f_x(0,k)-f_x(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0-0}{k} = 0$

$f_{yx}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1-0}{h}$ は存在しません。したがって，$f_{yx}(0,0)$ は定義できません。

問題文が不完全で、$f(x,y)$ が与えられていません。上記は、$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2}$ と仮定した場合の結果です。もし $f(x,y)$ が異なる関数であれば、答えも変わります。

特に、混合偏導関数 $f_{xy}$ と $f_{yx}$ を求める際には、関数の定義に注意が必要です。

3. 最終的な答え

$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2}$ (if $(x,y) \neq (0,0)$) and $f(0,0)=0$ の仮定のもとでは：

(1) $f_x(0,0) = 0$, $f_y(0,0) = 0$

(2) $f_x(0,0) = 1$, $f_y(0,0) = 1$　(ここで、$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2} + x + y$ と仮定)

(3) $f_{xy}(0,0) = 0$, $f_{yx}(0,0)$ は存在しない。