与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2})^{2k+1}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2})^{2k+1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた和を整理します。

$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2})^{2k+1} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{2k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{4})^{k}$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{4})^{k}$ は初項 $\frac{1}{4}$、公比 $\frac{1}{4}$ の等比数列の和なので、等比数列の和の公式を使って計算できます。等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ です。ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{4})^{k} = \frac{\frac{1}{4} (1-(\frac{1}{4})^n)}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4} (1-(\frac{1}{4})^n)}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3} (1-(\frac{1}{4})^n)$

したがって、

$\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{4})^{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} (1-(\frac{1}{4})^n) = \frac{1}{6} (1-(\frac{1}{4})^n)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6} (1-(\frac{1}{4})^n)$