与えられた数列の和を求める問題です。 数列は $\sum_{k=1}^{\infty} (-\frac{1}{2})^{2k+1}$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。

数列は $\sum_{k=1}^{\infty} (-\frac{1}{2})^{2k+1}$ で表されます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の和を書き下します。

$\sum_{k=1}^{\infty} (-\frac{1}{2})^{2k+1} = \sum_{k=1}^{\infty} (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})^{2k} = \sum_{k=1}^{\infty} (-\frac{1}{2}) (\frac{1}{4})^{k} = -\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^{k}$

ここで、$\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^{k}$ は初項 $\frac{1}{4}$、公比 $\frac{1}{4}$ の無限等比級数です。

無限等比級数の和の公式は、 $|r|<1$ のとき $\sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1} = \frac{a}{1-r}$ です。

したがって、 $\sum_{k=1}^{\infty} r^{k} = \frac{r}{1-r}$ となります。

今回の場合は $r = \frac{1}{4}$ なので、 $\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^{k} = \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$

したがって、 $-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^{k} = -\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = -\frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{6}$