関数 $f(x, y)$ が以下のように定義されています。 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x, y) \neq (0, 0) \\ c & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ 定数 $c$ の値に応じて、$f_x(0, 0)$、$f_y(0, 0)$、$f_{xy}(0, 0)$、$f_{yx}(0, 0)$ を求める問題です。 (1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。 (2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。 (3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ が以下のように定義されています。

$f(x, y) = \begin{cases}

\frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x, y) \neq (0, 0) \\

c & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}$

定数 $c$ の値に応じて、$f_x(0, 0)$、$f_y(0, 0)$、$f_{xy}(0, 0)$、$f_{yx}(0, 0)$ を求める問題です。

(1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。

(2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。

(3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $c = 0$ のとき

偏微分の定義より、

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$

$f(h, 0) = \frac{2h^3 \cdot 0 - 3h \cdot 0^3}{h^2 + 0^2} + h \cdot 0^3 = 0$

$f(0, 0) = 0$ なので、

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

同様に、

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k}$

$f(0, k) = \frac{2 \cdot 0^3 \cdot k - 3 \cdot 0 \cdot k^3}{0^2 + k^2} + 0 \cdot k^3 = 0$

$f(0, 0) = 0$ なので、

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

(2) $c = 1$ のとき

同様に、

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$

$f(h, 0) = \frac{2h^3 \cdot 0 - 3h \cdot 0^3}{h^2 + 0^2} + h \cdot 0^3 = 0$

$f(0, 0) = 1$ なので、

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{h}$

この極限は存在しません。したがって、$f_x(0,0)$は存在しません。

同様に、

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k}$

$f(0, k) = \frac{2 \cdot 0^3 \cdot k - 3 \cdot 0 \cdot k^3}{0^2 + k^2} + 0 \cdot k^3 = 0$

$f(0, 0) = 1$ なので、

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 1}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{-1}{k}$

この極限は存在しません。したがって、$f_y(0,0)$は存在しません。

(3) $c = 0$ のとき

まず、$x \neq 0, y \neq 0$ において、$f_x(x, y)$ を計算します。

$f(x, y) = \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3$

$f_x(x, y) = \frac{(6x^2y - 3y^3)(x^2 + y^2) - (2x^3y - 3xy^3)(2x)}{(x^2 + y^2)^2} + y^3$

$f_x(x,y)=\frac{6x^4y+6x^2y^3-3x^2y^3-3y^5-4x^4y+6x^2y^3}{(x^2+y^2)^2}+y^3=\frac{2x^4y+9x^2y^3-3y^5}{(x^2+y^2)^2}+y^3$

次に、$f_{xy}(0, 0)$ を計算します。

$f_{xy}(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f_x(0, k) - f_x(0, 0)}{k}$

$f_x(0, 0) = 0$ (上記の結果より)

$f_x(0, k) = \frac{2 \cdot 0^4 \cdot k + 9 \cdot 0^2 \cdot k^3 - 3k^5}{(0^2 + k^2)^2} + k^3 = \frac{-3k^5}{k^4} + k^3 = -3k + k^3$

したがって、

$f_{xy}(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{-3k + k^3 - 0}{k} = \lim_{k \to 0} (-3 + k^2) = -3$

同様に、$f_y(x, y)$ を計算します。

$f_y(x, y) = \frac{(2x^3 - 9xy^2)(x^2 + y^2) - (2x^3y - 3xy^3)(2y)}{(x^2 + y^2)^2} + 3xy^2$

$f_y(x,y)=\frac{2x^5+2x^3y^2-9x^3y^2-9xy^4-4x^3y^2+6xy^4}{(x^2+y^2)^2}+3xy^2 = \frac{2x^5 - 11x^3y^2 - 3xy^4}{(x^2+y^2)^2} + 3xy^2$

次に、$f_{yx}(0, 0)$ を計算します。

$f_{yx}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_y(h, 0) - f_y(0, 0)}{h}$

$f_y(0, 0) = 0$ (上記の結果より)

$f_y(h, 0) = \frac{2h^5 - 11h^3 \cdot 0^2 - 3h \cdot 0^4}{(h^2 + 0^2)^2} + 3h \cdot 0^2 = \frac{2h^5}{h^4} = 2h$

したがって、

$f_{yx}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{2h - 0}{h} = \lim_{h \to 0} 2 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0) = 0$, $f_y(0, 0) = 0$

(2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ は存在しません、$f_y(0, 0)$ は存在しません。

(3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0) = -3$, $f_{yx}(0, 0) = 2$