$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x dx$ をWallisの公式を用いて求める。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x dx$ をWallisの公式を用いて求める。

2. 解き方の手順

Wallisの公式は、m, nが正の整数のとき、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^n x dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \times \frac{\pi}{2}$$

ただし、m, nが共に偶数のときのみ$\frac{\pi}{2}$をかける。

この公式を問題に適用する。

$m = 4, n = 2$ なので、$m+n = 6$

$$(m-1)!! = (4-1)!! = 3!! = 3 \times 1 = 3$$

$$(n-1)!! = (2-1)!! = 1!! = 1$$

$$(m+n)!! = (4+2)!! = 6!! = 6 \times 4 \times 2 = 48$$

よって、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x dx = \frac{3 \times 1}{48} \times \frac{\pi}{2} = \frac{3}{48} \times \frac{\pi}{2} = \frac{1}{16} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{32}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{32}$