与えられた関数 $z$ に対して、$\frac{dz}{dt}$ を求める問題です。$z$ は $t$ の関数で、複数の場合が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた関数 $z$ に対して、$\frac{dz}{dt}$ を求める問題です。$z$ は $t$ の関数で、複数の場合が与えられています。

2. 解き方の手順

合成関数の微分（連鎖律）を使います。$z=f(x,y)$ であり、$x$ と $y$ が $t$ の関数であるとき、

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$

となります。$\frac{\partial f}{\partial x}$ は $f$ を $x$ で偏微分したものを表し、$\frac{\partial f}{\partial y}$ は $f$ を $y$ で偏微分したものを表します。

(1) $z = f(2t, 3t)$ の場合：

$x = 2t$, $y = 3t$ とおくと、

$\frac{dx}{dt} = 2$, $\frac{dy}{dt} = 3$

よって、

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot 2 + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot 3 = 2 \frac{\partial f}{\partial x} + 3 \frac{\partial f}{\partial y}$$

(2) $z = f(\cos 2t, \sin 3t)$ の場合：

$x = \cos 2t$, $y = \sin 3t$ とおくと、

$\frac{dx}{dt} = -2 \sin 2t$, $\frac{dy}{dt} = 3 \cos 3t$

よって、

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} (-2 \sin 2t) + \frac{\partial f}{\partial y} (3 \cos 3t) = -2 \sin 2t \frac{\partial f}{\partial x} + 3 \cos 3t \frac{\partial f}{\partial y}$$

(3) $z = f(e^t, e^{2t})$ の場合：

$x = e^t$, $y = e^{2t}$ とおくと、

$\frac{dx}{dt} = e^t$, $\frac{dy}{dt} = 2e^{2t}$

よって、

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} e^t + \frac{\partial f}{\partial y} 2e^{2t} = e^t \frac{\partial f}{\partial x} + 2e^{2t} \frac{\partial f}{\partial y}$$

(4) $z = f(\frac{1}{t}, \frac{1}{t^2})$ の場合：

$x = \frac{1}{t} = t^{-1}$, $y = \frac{1}{t^2} = t^{-2}$ とおくと、

$\frac{dx}{dt} = -t^{-2} = -\frac{1}{t^2}$, $\frac{dy}{dt} = -2t^{-3} = -\frac{2}{t^3}$

よって、

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \left(-\frac{1}{t^2}\right) + \frac{\partial f}{\partial y} \left(-\frac{2}{t^3}\right) = -\frac{1}{t^2} \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{2}{t^3} \frac{\partial f}{\partial y}$$

(5) $z = f(\varphi(t) \cos(\psi(t)), \varphi(t) \sin(\psi(t)))$ の場合：

$x = \varphi(t) \cos(\psi(t))$, $y = \varphi(t) \sin(\psi(t))$ とおくと、

$\frac{dx}{dt} = \varphi'(t) \cos(\psi(t)) - \varphi(t) \psi'(t) \sin(\psi(t))$,

$\frac{dy}{dt} = \varphi'(t) \sin(\psi(t)) + \varphi(t) \psi'(t) \cos(\psi(t))$

よって、

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} (\varphi'(t) \cos(\psi(t)) - \varphi(t) \psi'(t) \sin(\psi(t))) + \frac{\partial f}{\partial y} (\varphi'(t) \sin(\psi(t)) + \varphi(t) \psi'(t) \cos(\psi(t)))$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dz}{dt} = 2 \frac{\partial f}{\partial x} + 3 \frac{\partial f}{\partial y}$

(2) $\frac{dz}{dt} = -2 \sin 2t \frac{\partial f}{\partial x} + 3 \cos 3t \frac{\partial f}{\partial y}$

(3) $\frac{dz}{dt} = e^t \frac{\partial f}{\partial x} + 2e^{2t} \frac{\partial f}{\partial y}$

(4) $\frac{dz}{dt} = -\frac{1}{t^2} \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{2}{t^3} \frac{\partial f}{\partial y}$

(5) $\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} (\varphi'(t) \cos(\psi(t)) - \varphi(t) \psi'(t) \sin(\psi(t))) + \frac{\partial f}{\partial y} (\varphi'(t) \sin(\psi(t)) + \varphi(t) \psi'(t) \cos(\psi(t)))$