次の2つの関数について、$n$次導関数を求めよ。 (i) $xe^x$ (ii) $\sin(2x)$

1. 問題の内容

次の2つの関数について、$n$次導関数を求めよ。

(i) $xe^x$

(ii) $\sin(2x)$

2. 解き方の手順

(i) $f(x) = xe^x$ の$n$次導関数を求める。

ライプニッツの公式を使う。ライプニッツの公式は、関数$u(x)$と$v(x)$の積の$n$次導関数を求めるもので、以下の通り。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

ここでは、$u(x) = x$、$v(x) = e^x$とする。

$u'(x) = 1$、$u''(x) = u'''(x) = ... = 0$

$v'(x) = v''(x) = ... = e^x$

したがって、

$(xe^x)^{(n)} = \binom{n}{0} x (e^x)^{(n)} + \binom{n}{1} (x)' (e^x)^{(n-1)} + \binom{n}{2} (x)'' (e^x)^{(n-2)} + ...$

$(xe^x)^{(n)} = x e^x + n \cdot 1 \cdot e^x + 0 + ...$

$(xe^x)^{(n)} = (x+n)e^x$

(ii) $g(x) = \sin(2x)$ の$n$次導関数を求める。

$\sin(ax)$の$n$次導関数は、$a^n \sin(ax + \frac{n\pi}{2})$で与えられる。

したがって、$\sin(2x)$の$n$次導関数は、$2^n \sin(2x + \frac{n\pi}{2})$となる。

3. 最終的な答え

(i) $(xe^x)^{(n)} = (x+n)e^x$

(ii) $(\sin(2x))^{(n)} = 2^n \sin(2x + \frac{n\pi}{2})$