* 演習10-4：与えられたスカラー関数 $f$ の勾配（grad $f$）をそれぞれ求める。 * ① $f(x, y) = 2x - y + 3$ * ② $f(x, y) = \frac{x}{y^2}$ * ③ $f(x, y, z) = \sin(2x + y) + z$ * ④ $f(x, y, z) = xyz$ * 演習10-5：$f(x, y, z) = x^2y^2 + xyz + 3xz^2$ が与えられたとき、次の問いに答える。 * ① grad $f$ を求めよ。 * ② 単位ベクトル $a_n = (a_x + a_y + a_z) / \sqrt{3}$ とするとき、点 $(1, 1, 1)$ における grad $f$ の $a_n$ 方向成分を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

* 演習10-4：与えられたスカラー関数 $f$ の勾配（grad $f$）をそれぞれ求める。

* ① $f(x, y) = 2x - y + 3$

* ② $f(x, y) = \frac{x}{y^2}$

* ③ $f(x, y, z) = \sin(2x + y) + z$

* ④ $f(x, y, z) = xyz$

* 演習10-5：$f(x, y, z) = x^2y^2 + xyz + 3xz^2$ が与えられたとき、次の問いに答える。

* ① grad $f$ を求めよ。

* ② 単位ベクトル $a_n = (a_x + a_y + a_z) / \sqrt{3}$ とするとき、点 $(1, 1, 1)$ における grad $f$ の $a_n$ 方向成分を求めよ。

2. 解き方の手順

* 演習10-4

勾配（grad $f$）は、$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$ で定義されます。

① $f(x, y) = 2x - y + 3$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -1$

$\frac{\partial f}{\partial z} = 0$

したがって、grad $f = (2, -1, 0)$

② $f(x, y) = \frac{x}{y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2x}{y^3}$

$\frac{\partial f}{\partial z} = 0$

したがって、grad $f = \left( \frac{1}{y^2}, -\frac{2x}{y^3}, 0 \right)$

③ $f(x, y, z) = \sin(2x + y) + z$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2\cos(2x + y)$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos(2x + y)$

$\frac{\partial f}{\partial z} = 1$

したがって、grad $f = (2\cos(2x + y), \cos(2x + y), 1)$

④ $f(x, y, z) = xyz$

$\frac{\partial f}{\partial x} = yz$

$\frac{\partial f}{\partial y} = xz$

$\frac{\partial f}{\partial z} = xy$

したがって、grad $f = (yz, xz, xy)$

* 演習10-5

① $f(x, y, z) = x^2y^2 + xyz + 3xz^2$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^2 + yz + 3z^2$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^2y + xz$

$\frac{\partial f}{\partial z} = xy + 6xz$

したがって、grad $f = (2xy^2 + yz + 3z^2, 2x^2y + xz, xy + 6xz)$

② 点 $(1, 1, 1)$ における grad $f$ は、

grad $f(1, 1, 1) = (2(1)(1)^2 + (1)(1) + 3(1)^2, 2(1)^2(1) + (1)(1), (1)(1) + 6(1)(1)) = (2 + 1 + 3, 2 + 1, 1 + 6) = (6, 3, 7)$

単位ベクトル $a_n = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$

grad $f$ の $a_n$ 方向成分は、grad $f(1, 1, 1)$ と $a_n$ の内積で計算される。

方向微分 $= (6, 3, 7) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1) = \frac{1}{\sqrt{3}}(6 + 3 + 7) = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

* 演習10-4

* ① grad $f = (2, -1, 0)$

* ② grad $f = \left( \frac{1}{y^2}, -\frac{2x}{y^3}, 0 \right)$

* ③ grad $f = (2\cos(2x + y), \cos(2x + y), 1)$

* ④ grad $f = (yz, xz, xy)$

* 演習10-5

* ① grad $f = (2xy^2 + yz + 3z^2, 2x^2y + xz, xy + 6xz)$

* ② $\frac{16\sqrt{3}}{3}$