問題は、以下の2つの関数の $n$ 階導関数を求めることです。 (i) $xe^x$ (ii) $\sin(2x)$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの関数の $n$ 階導関数を求めることです。

(i) $xe^x$

(ii) $\sin(2x)$

2. 解き方の手順

(i) $xe^x$ の $n$ 階導関数を求めます。

ライプニッツの公式を用いることを考えます。ライプニッツの公式とは、

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$$

です。ここで、$u = x$, $v = e^x$ とおくと、

$u' = 1$, $u'' = u''' = \dots = 0$

$v' = e^x$, $v'' = e^x$, ..., $v^{(k)} = e^x$

となります。したがって、ライプニッツの公式より、

$$(xe^x)^{(n)} = {}_n C_0 x^{(n)} (e^x)^{(0)} + {}_n C_1 x^{(n-1)} (e^x)^{(1)} + \dots + {}_n C_n x^{(0)} (e^x)^{(n)}$$

となります。ここで、$x$ の微分は2回以上行うと0になるため、$k \geq 2$ の項はすべて0になります。つまり、

$$(xe^x)^{(n)} = {}_n C_0 x e^x + {}_n C_1 (1) e^x = xe^x + ne^x = (x+n)e^x$$

(ii) $\sin(2x)$ の $n$ 階導関数を求めます。

$\sin(2x)$ の導関数をいくつか計算してみると、

$(\sin(2x))' = 2\cos(2x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{2})$

$(\sin(2x))'' = -4\sin(2x) = 2^2\sin(2x + \pi)$

$(\sin(2x))''' = -8\cos(2x) = 2^3\sin(2x + \frac{3\pi}{2})$

$(\sin(2x))^{(4)} = 16\sin(2x) = 2^4\sin(2x + 2\pi)$

となることから、

$$(\sin(2x))^{(n)} = 2^n\sin(2x + \frac{n\pi}{2})$$

と予想できます。これを数学的帰納法で証明します。

$n=1$のとき、$(\sin(2x))' = 2\cos(2x) = 2\sin(2x+\frac{\pi}{2})$ なので成り立ちます。

$n=k$のとき、$(\sin(2x))^{(k)} = 2^k\sin(2x + \frac{k\pi}{2})$ が成り立つと仮定します。

$n=k+1$のとき、

$(\sin(2x))^{(k+1)} = ((\sin(2x))^{(k)})' = (2^k\sin(2x + \frac{k\pi}{2}))' = 2^k \cdot 2\cos(2x+\frac{k\pi}{2}) = 2^{k+1}\sin(2x + \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = 2^{k+1}\sin(2x + \frac{(k+1)\pi}{2})$

したがって、$n=k+1$のときも成り立ちます。

よって、数学的帰納法により、$(\sin(2x))^{(n)} = 2^n\sin(2x + \frac{n\pi}{2})$ が証明されました。

3. 最終的な答え

(i) $(xe^x)^{(n)} = (x+n)e^x$

(ii) $(\sin(2x))^{(n)} = 2^n\sin(2x + \frac{n\pi}{2})$