与えられた三角関数に関する方程式を解く問題です。 1) $\sin^{-1}x = \tan^{-1}\sqrt{5}$ 2) $\sin^{-1}x = \sin^{-1}\frac{1}{3} + \sin^{-1}\frac{7}{9}$

1. 問題の内容

与えられた三角関数に関する方程式を解く問題です。

1) $\sin^{-1}x = \tan^{-1}\sqrt{5}$

2) $\sin^{-1}x = \sin^{-1}\frac{1}{3} + \sin^{-1}\frac{7}{9}$

2. 解き方の手順

1) $\sin^{-1}x = \tan^{-1}\sqrt{5}$ の場合

$\theta = \tan^{-1}\sqrt{5}$ とすると、$\tan\theta = \sqrt{5}$です。

$\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$ より、$\sec^2\theta = (\sqrt{5})^2 + 1 = 6$ なので、$\cos^2\theta = \frac{1}{6}$となります。

したがって、$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{6}}$ です。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ なので、$\sin\theta = \sqrt{\frac{5}{6}}$ です。

$\sin(\sin^{-1}x) = \sin(\tan^{-1}\sqrt{5})$ より、$x = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$となります。

2) $\sin^{-1}x = \sin^{-1}\frac{1}{3} + \sin^{-1}\frac{7}{9}$ の場合

$\alpha = \sin^{-1}\frac{1}{3}$、$\beta = \sin^{-1}\frac{7}{9}$ とすると、$\sin\alpha = \frac{1}{3}$、$\sin\beta = \frac{7}{9}$ です。

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \frac{49}{81}} = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{3}\cdot\frac{4\sqrt{2}}{9} + \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{7}{9} = \frac{4\sqrt{2}}{27} + \frac{14\sqrt{2}}{27} = \frac{18\sqrt{2}}{27} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\sin(\sin^{-1}x) = \sin(\sin^{-1}\frac{1}{3} + \sin^{-1}\frac{7}{9})$ より、$x = \frac{2\sqrt{2}}{3}$となります。

3. 最終的な答え

1) $x = \frac{\sqrt{30}}{6}$

2) $x = \frac{2\sqrt{2}}{3}$