領域 $D = \{(x, y) | 0 \le x+y \le 1, 0 \le x-y \le 1 \}$ 上で、2重積分 $\iint_D (2x+3y) \, dxdy$ を計算します。変数変換 $u=x+y$, $v=x-y$ を利用します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | 0 \le x+y \le 1, 0 \le x-y \le 1 \}$ 上で、2重積分 $\iint_D (2x+3y) \, dxdy$ を計算します。変数変換 $u=x+y$, $v=x-y$ を利用します。

2. 解き方の手順

まず、変数変換 $u=x+y$, $v=x-y$ を行い、$x$ と $y$ を $u$ と $v$ で表します。

$u = x+y$

$v = x-y$

これらの式から、$x$ と $y$ を $u$ と $v$ で表すと、

$x = \frac{u+v}{2}$

$y = \frac{u-v}{2}$

となります。

次に、領域 $D$ が $uv$ 平面上ではどのような領域 $E$ になるかを考えます。

$0 \le x+y \le 1$ は $0 \le u \le 1$ となり、$0 \le x-y \le 1$ は $0 \le v \le 1$ となります。そして、 $y \ge 0$ より $\frac{u-v}{2} \ge 0$ つまり $u \ge v$ となります。

したがって、$E = \{(u, v) | 0 \le u \le 1, 0 \le v \le u \}$ となります。

次に、ヤコビアン $|det J|$ を計算します。

$det J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}$

よって、 $|det J| = |\frac{-1}{2}| = \frac{1}{2}$ となります。

積分を計算します。

$\iint_D (2x+3y) \, dxdy = \iint_E (2 \cdot \frac{u+v}{2} + 3 \cdot \frac{u-v}{2}) |det J| \, dudv = \iint_E (u+v + \frac{3}{2}u - \frac{3}{2}v) \frac{1}{2} \, dudv = \frac{1}{2} \iint_E (\frac{5}{2}u - \frac{1}{2}v) \, dudv$

$= \frac{1}{2} \int_0^1 \int_0^u (\frac{5}{2}u - \frac{1}{2}v) \, dvdu = \frac{1}{2} \int_0^1 [\frac{5}{2}uv - \frac{1}{4}v^2]_0^u \, du = \frac{1}{2} \int_0^1 (\frac{5}{2}u^2 - \frac{1}{4}u^2) \, du = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{9}{4}u^2 \, du = \frac{9}{8} \int_0^1 u^2 \, du = \frac{9}{8} [\frac{1}{3}u^3]_0^1 = \frac{9}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8}$