次の微分方程式をラプラス変換を用いて解く問題です。 $y'' + y = 3\cos{2t}$ 初期条件は $y(0) = 3$, $y'(0) = -1$ です。

## 問題5

1. 問題の内容

次の微分方程式をラプラス変換を用いて解く問題です。

$y'' + y = 3\cos{2t}$

初期条件は $y(0) = 3$, $y'(0) = -1$ です。

2. 解き方の手順

(1) ラプラス変換

与えられた微分方程式をラプラス変換します。$Y(s)$ を $y(t)$ のラプラス変換とすると、以下のようになります。

$L\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$

$L\{y\} = Y(s)$

$L\{3\cos{2t}\} = 3\frac{s}{s^2+4}$

よって、微分方程式のラプラス変換は次のようになります。

$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + Y(s) = 3\frac{s}{s^2+4}$

(2) 初期条件の代入

初期条件 $y(0) = 3$ と $y'(0) = -1$ を代入します。

$s^2Y(s) - 3s + 1 + Y(s) = 3\frac{s}{s^2+4}$

(3) $Y(s)$ について解く

$Y(s)$ について式を整理します。

$(s^2 + 1)Y(s) = 3\frac{s}{s^2+4} + 3s - 1$

$Y(s) = \frac{3s}{(s^2+1)(s^2+4)} + \frac{3s-1}{s^2+1}$

$Y(s) = \frac{3s + (3s-1)(s^2+4)}{(s^2+1)(s^2+4)}$

$Y(s) = \frac{3s + 3s^3 + 12s - s^2 - 4}{(s^2+1)(s^2+4)}$

$Y(s) = \frac{3s^3 - s^2 + 15s - 4}{(s^2+1)(s^2+4)}$

部分分数分解を行います。

$\frac{3s^3 - s^2 + 15s - 4}{(s^2+1)(s^2+4)} = \frac{As+B}{s^2+1} + \frac{Cs+D}{s^2+4}$

$3s^3 - s^2 + 15s - 4 = (As+B)(s^2+4) + (Cs+D)(s^2+1)$

$3s^3 - s^2 + 15s - 4 = As^3 + 4As + Bs^2 + 4B + Cs^3 + Cs + Ds^2 + D$

$3s^3 - s^2 + 15s - 4 = (A+C)s^3 + (B+D)s^2 + (4A+C)s + (4B+D)$

係数を比較すると、

$A+C = 3$

$B+D = -1$

$4A+C = 15$

$4B+D = -4$

これらの連立方程式を解くと、

$3A = 12 \Rightarrow A = 4$

$C = 3 - A = 3 - 4 = -1$

$3B = -3 \Rightarrow B = -1$

$D = -1 - B = -1 - (-1) = 0$

よって、

$Y(s) = \frac{4s-1}{s^2+1} + \frac{-s}{s^2+4}$

$Y(s) = \frac{4s}{s^2+1} - \frac{1}{s^2+1} - \frac{s}{s^2+4}$

(4) 逆ラプラス変換

$y(t)$ を求めるために、逆ラプラス変換を行います。

$L^{-1}\{\frac{s}{s^2+a^2}\} = \cos{at}$

$L^{-1}\{\frac{a}{s^2+a^2}\} = \sin{at}$

よって、

$y(t) = 4\cos{t} - \sin{t} - \cos{2t}$

3. 最終的な答え

$y(t) = 4\cos{t} - \sin{t} - \cos{2t}$