次の2つの関数の最大値と最小値を求めよ。 (1) $y = \sqrt{3} \sin{\theta} - \cos{\theta}$ (2) $y = 12 \sin{\theta} + 5 \cos{\theta}$

## 問題の回答

1. 問題の内容

次の2つの関数の最大値と最小値を求めよ。

(1) $y = \sqrt{3} \sin{\theta} - \cos{\theta}$

(2) $y = 12 \sin{\theta} + 5 \cos{\theta}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{3} \sin{\theta} - \cos{\theta}$

三角関数の合成を利用する。

$y = r \sin{(\theta + \alpha)}$ の形に変形する。

ここで、$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$ となる。

$\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin{\alpha} = -\frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = -\frac{\pi}{6}$

よって、$y = 2 \sin{(\theta - \frac{\pi}{6})}$ となる。

$-1 \le \sin{(\theta - \frac{\pi}{6})} \le 1$ より、 $-2 \le 2 \sin{(\theta - \frac{\pi}{6})} \le 2$

(2) $y = 12 \sin{\theta} + 5 \cos{\theta}$

三角関数の合成を利用する。

$y = r \sin{(\theta + \alpha)}$ の形に変形する。

ここで、$r = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13$ となる。

$\cos{\alpha} = \frac{12}{13}, \sin{\alpha} = \frac{5}{13}$ を満たす $\alpha$ が存在する。

よって、$y = 13 \sin{(\theta + \alpha)}$ となる。

$-1 \le \sin{(\theta + \alpha)} \le 1$ より、 $-13 \le 13 \sin{(\theta + \alpha)} \le 13$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 2, 最小値: -2

(2) 最大値: 13, 最小値: -13