関数 $f(x) = \cos x (1 + \sin x)$ の $0 \le x \le 2\pi$ における最大値と最小値を求め、それぞれの値を取る $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \cos x (1 + \sin x)$ の $0 \le x \le 2\pi$ における最大値と最小値を求め、それぞれの値を取る $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して極値を求める。

$f'(x) = -\sin x (1 + \sin x) + \cos x (\cos x) = -\sin x - \sin^2 x + \cos^2 x = -\sin x - \sin^2 x + (1 - \sin^2 x) = -2\sin^2 x - \sin x + 1$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-2\sin^2 x - \sin x + 1 = 0$

$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

$(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$

よって、$\sin x = \frac{1}{2}$ または $\sin x = -1$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で $\sin x = \frac{1}{2}$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で $\sin x = -1$ を満たす $x$ は $x = \frac{3\pi}{2}$

次に、 $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$ での $f(x)$ の値を計算する。

$f(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) (1 + \sin(\frac{\pi}{6})) = \frac{\sqrt{3}}{2} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) (1 + \sin(\frac{5\pi}{6})) = -\frac{\sqrt{3}}{2} (1 + \frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) (1 + \sin(\frac{3\pi}{2})) = 0 (1 + (-1)) = 0$

$x = 0$ と $x = 2\pi$ での $f(x)$ の値も確認する。

$f(0) = \cos(0) (1 + \sin(0)) = 1(1 + 0) = 1$

$f(2\pi) = \cos(2\pi) (1 + \sin(2\pi)) = 1(1 + 0) = 1$

したがって、最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ で、このときの $x$ は $\frac{\pi}{6}$

最小値は $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ で、このときの $x$ は $\frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

When $x = \frac{\pi}{6}$, max.value is $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

When $x = \frac{5\pi}{6}$, min.value is $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$

A: π

B: 6

C: 3

D: 3

E: 4

F: 5π

G: 6

H: ,

I: 3

J: 3

K: 4