問題は2つあります。 1つ目は、極限 $\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ を求める問題です。 2つ目は、$n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{n\pi}{2}\right)}{n!} x^n$ $(0<\theta<1)$ で表されることを利用して、$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目は、極限 $\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ を求める問題です。

2つ目は、$n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{n\pi}{2}\right)}{n!} x^n$ $(0<\theta<1)$ で表されることを利用して、$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求める問題です。

2. 解き方の手順

1つ目の問題：

$\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ を求めます。

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +\infty$ のとき $t \to 0$ なので、

$\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log \left( \frac{\frac{1}{t} - 1}{\frac{1}{t} + 1} \right) = \lim_{t \to 0} \frac{\log \left( \frac{1-t}{1+t} \right)}{t}$

ここで、$\log \left( \frac{1-t}{1+t} \right) = \log(1-t) - \log(1+t)$ であり、$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ を用いると、

$\log(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \dots$

$\log(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \dots$

なので、

$\log(1-t) - \log(1+t) = -2t - \frac{2t^3}{3} - \dots$

よって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log \left( \frac{1-t}{1+t} \right)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-2t - \frac{2t^3}{3} - \dots}{t} = \lim_{t \to 0} \left( -2 - \frac{2t^2}{3} - \dots \right) = -2$

または、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log \left( \frac{1-t}{1+t} \right)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1+t}{1-t} \cdot \frac{-(1+t)-(1-t)}{(1+t)^2}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{1+t}{1-t} \cdot \frac{-2}{(1+t)^2} = \frac{1}{1} \cdot \frac{-2}{1} = -2$

2つ目の問題：

$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{n\pi}{2}\right)}{n!} x^n$ $(0<\theta<1)$ を用いて、$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで求める。

$x = \frac{1}{3}$ を代入する。

$n=3$ のとき、$\frac{n-3}{2} = 0$ なので、

$\sin x = \sum_{\ell=0}^{0} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{3\pi}{2}\right)}{3!} x^3 = \frac{(-1)^0}{(2(0)+1)!} x^{2(0)+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{3\pi}{2}\right)}{6} x^3 = x + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{3\pi}{2}\right)}{6} x^3$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)}{6} \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{3} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)}{6 \cdot 27} = \frac{1}{3} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)}{162}$

$\frac{1}{3} \approx 0.3333$

$\frac{3\pi}{2} \approx 4.7123$

$\frac{\theta}{3}$ は小さいので、$0<\theta<1$ より $0<\frac{\theta}{3}<\frac{1}{3} \approx 0.3333$

$\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2} \approx 4.7123 + 0.3333 = 5.0456$

$\sin(5.0456) \approx -0.95$

$\frac{\sin(5.0456)}{162} \approx \frac{-0.95}{162} \approx -0.00586$

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.3333 - 0.00586 = 0.32744$

$n=5$ のとき、$\frac{n-3}{2} = 1$ なので、

$\sin x = \sum_{\ell=0}^{1} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{5\pi}{2}\right)}{5!} x^5 = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{5\pi}{2}\right)}{120} x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{5\pi}{2}\right)}{120} x^5$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{(\frac{1}{3})^3}{6} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{120} \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{3} - \frac{1}{6 \cdot 27} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{120 \cdot 243} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\sin\left(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2}\right)}{29160}$

$\frac{1}{3} - \frac{1}{162} = \frac{54-1}{162} = \frac{53}{162} \approx 0.32716$

$\frac{5\pi}{2} \approx 7.8540$

$\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2} \approx 7.8540 + 0.3333 = 8.1873$

$\sin(8.1873) \approx 0.325$

$\frac{\sin(8.1873)}{29160} \left(\frac{1}{3}\right)^5 \approx \frac{0.325}{29160} = 0.0000111$

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.32716 + 0.0000111 = 0.3271711$

$\sin(1/3) = 0.327194697$

$0.3272$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right) = -2$

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$