与えられた関数について、指定された偏導関数または偏微分係数を求める問題です。 (1) $z = \sin(y/x)$ の偏導関数 $z_x$, $z_y$ を求める。 (2) $z = \log(x^2 + y^2)$ の偏微分係数 $z_x(2,3)$ を求める。 (3) $f(x, y) = \cos(x^2 e^{\tan(xy)})$ の偏微分係数 $f_x(\sqrt{\pi}/6, 0)$ を求める。 (4) $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$ の偏微分係数 $f_x(0,0)$, $f_y(0,0)$ を求める。 (5) $f(x, y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{1/p}$ の偏微分係数 $f_x(1,1)$, $f_y(1,1)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された偏導関数または偏微分係数を求める問題です。

(1) $z = \sin(y/x)$ の偏導関数 $z_x$, $z_y$ を求める。

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ の偏微分係数 $z_x(2,3)$ を求める。

(3) $f(x, y) = \cos(x^2 e^{\tan(xy)})$ の偏微分係数 $f_x(\sqrt{\pi}/6, 0)$ を求める。

(4) $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$ の偏微分係数 $f_x(0,0)$, $f_y(0,0)$ を求める。

(5) $f(x, y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{1/p}$ の偏微分係数 $f_x(1,1)$, $f_y(1,1)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $z = \sin(y/x)$

$z_x = \cos(y/x) \cdot (-y/x^2) = -\frac{y}{x^2} \cos(y/x)$

$z_y = \cos(y/x) \cdot (1/x) = \frac{1}{x} \cos(y/x)$

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$

$z_x = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

$z_x(2, 3) = \frac{2(2)}{2^2 + 3^2} = \frac{4}{4 + 9} = \frac{4}{13}$

(3) $f(x, y) = \cos(x^2 e^{\tan(xy)})$

$f_x(x, y) = -\sin(x^2 e^{\tan(xy)}) \cdot (2x e^{\tan(xy)} + x^2 e^{\tan(xy)} \cdot \sec^2(xy) \cdot y)$

$f_x(\sqrt{\pi}/6, 0) = -\sin((\pi/36)e^0) \cdot (2(\sqrt{\pi}/6)e^0 + (\pi/36)e^0 \cdot \sec^2(0) \cdot 0)$

$= -\sin(\pi/36) \cdot (2(\sqrt{\pi}/6) + 0) = -\frac{\sqrt{\pi}}{3} \sin(\frac{\pi}{36})$

(4) $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h^2 + 0} - \sqrt{0}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$

この極限は存在しない。したがって$f_x(0,0)$は存在しない。

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\sqrt{0 + k^4} - \sqrt{0}}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{k^2}{k} = \lim_{k \to 0} k = 0$

(5) $f(x, y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{1/p}$

$f(x, y) = \max(|3x|, |2y|)$

$f(1, 1) = \max(3, 2) = 3$

$f(x,1) = \max(|3x|,2)$

$f_x(1, 1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h, 1) - f(1, 1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\max(|3(1+h)|, 2) - 3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\max(|3+3h|, 2) - 3}{h}$

$h>0$のとき, $\frac{3+3h-3}{h} = 3$

$h<0$のとき, $\frac{3+3h-3}{h} = 3$

したがって、$f_x(1, 1) = 3$.

$f(1,y) = \max(3, |2y|)$

$f_y(1, 1) = \lim_{k \to 0} \frac{f(1, 1 + k) - f(1, 1)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\max(3, |2(1+k)|) - 3}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\max(3, |2+2k|) - 3}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\max(3, 2+2k) - 3}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{3 - 3}{k} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $z_x = -\frac{y}{x^2} \cos(y/x)$, $z_y = \frac{1}{x} \cos(y/x)$

(2) $z_x(2, 3) = \frac{4}{13}$

(3) $f_x(\sqrt{\pi}/6, 0) = -\frac{\sqrt{\pi}}{3} \sin(\frac{\pi}{36})$

(4) $f_x(0, 0)$ は存在しない, $f_y(0, 0) = 0$

(5) $f_x(1, 1) = 3$, $f_y(1, 1) = 0$