次の2つの関数の最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x \sqrt{4 - x^2}$ (2) $y = x \sin x + \cos x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$)

1. 問題の内容

次の2つの関数の最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x \sqrt{4 - x^2}$

(2) $y = x \sin x + \cos x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x \sqrt{4 - x^2}$

定義域は $4 - x^2 \ge 0$ より $-2 \le x \le 2$

$y' = \sqrt{4-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-x^2 - x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

$y' = 0$ となるのは $4 - 2x^2 = 0$ より $x^2 = 2$

したがって $x = \pm \sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}$ のとき $y = -\sqrt{2} \sqrt{4 - 2} = -\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = -2$

$x = \sqrt{2}$ のとき $y = \sqrt{2} \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$

$x = -2$ のとき $y = -2 \sqrt{4 - 4} = 0$

$x = 2$ のとき $y = 2 \sqrt{4 - 4} = 0$

よって、最大値は2 (x = $\sqrt{2}$)、最小値は-2 (x = $-\sqrt{2}$)

(2) $y = x \sin x + \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

$y' = \sin x + x \cos x - \sin x = x \cos x$

$y' = 0$ となるのは $x = 0$ または $\cos x = 0$

$\cos x = 0$ となるのは $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$x = 0$ のとき $y = 0 \cdot \sin 0 + \cos 0 = 1$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $y = \frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0 = \frac{\pi}{2}$

$x = \frac{3\pi}{2}$ のとき $y = \frac{3\pi}{2} \sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \cdot (-1) + 0 = -\frac{3\pi}{2}$

$x = 2\pi$ のとき $y = 2\pi \sin 2\pi + \cos 2\pi = 2\pi \cdot 0 + 1 = 1$

$\pi \approx 3.14$ より $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $-\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$

よって、最大値は$\frac{\pi}{2}$ ($x = \frac{\pi}{2}$)、最小値は$-\frac{3\pi}{2}$ ($x = \frac{3\pi}{2}$)

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 2 ($x = \sqrt{2}$), 最小値: -2 ($x = -\sqrt{2}$)

(2) 最大値: $\frac{\pi}{2}$ ($x = \frac{\pi}{2}$), 最小値: $-\frac{3\pi}{2}$ ($x = \frac{3\pi}{2}$)